Question

Прямая а лежит в плоскости альфа и параллельна плоскости бета. Прямая б параллельна плоскостям альфа и бета. При каком взаимном расположении данных прямых можно утверждать, что альфа параллельна бета? Ответ объясните.

Answer 1

Если они перпендикулярны одной прямой

Answer 2

Для того чтобы прямая \(а\) была параллельна плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), необходимо, чтобы направляющий вектор прямой \(а\) был перпендикулярен к нормалям обеих плоскостей.

Обозначим через \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) нормали плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Тогда условие параллельности прямой \(а\) плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\) можно записать следующим образом:

\[ \vec{a} \perp \vec{n}_\alpha \quad \text{и} \quad \vec{a} \perp \vec{n}_\beta \]

где \(\vec{a}\) - направляющий вектор прямой \(а\).

Если \(\vec{a} \perp \vec{n}_\alpha\) и \(\vec{a} \perp \vec{n}_\beta\), то \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) коллинеарны (параллельны). В этом случае можно утверждать, что \(\alpha\) параллельна \(\beta\).

Таким образом, взаимное расположение данных прямых \(а\) и \(б\) необходимо таково, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны к нормалям плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).