Question

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Answer 1

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Основание правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 правильных треугольников.

Для ответа на вопрос задачи нужно знать длину стороны основания и  высоту пирамиды.

Сторона =1, высоту найдем из объема

Формула объема пирамиды:

V=S•h:3, где S – площадь основания,  h – высота пирамиды. ⇒

h=3V:S

S= площади 6 правильных треугольников, площадь каждого а²√3):4

S=6•1²•√3):4=1,5√3⇒

h=3•6:1,5√3=4√3

Обозначим высоту пирамиды SO, а СО - отрезок, соединяющий одну из вершин основания и его центр. 

СО=1, т.к. О- общая вершина правильных треугольников, составляющих правильный шестиугольник. 

Боковое ребро найдем по т.Пифагора из прямоугольного ∆ SOC.

SC=√(SO²+OC²)=√(48+1)=7 (ед. длины)

Answer 2

Для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды нужно знать формулу, которая выглядит так: $$V = \\frac {\\sqrt {3}} {2} h a^2$$, где $V$ - объем пирамиды, $h$ - высота пирамиды, $a$ - сторона основания. Для нахождения бокового ребра пирамиды нужно знать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза - это боковое ребро пирамиды, а катеты - это половина стороны основания и высота пирамиды. Тогда формула для бокового ребра выглядит так: $$l = \\sqrt {\\left(\\frac {a} {2}\\right)^2 + h^2}$$, где $l$ - боковое ребро пирамиды.

Подставляя данные задачи в формулы, получаем:

$$V = \\frac {\\sqrt {3}} {2} \\cdot 6 \\cdot 1^2 = 3\\sqrt {3}$$

$$l = \\sqrt {\\left(\\frac {1} {2}\\right)^2 + 6^2} = \\sqrt {\\frac {1} {4} + 36} = \\sqrt {\\frac {145} {4}}$$

Ответ: объем правильной шестиугольной пирамиды равен $3\\sqrt {3}$, боковое ребро равно $\\sqrt {\\frac {145} {4}}$.