Question

AD||CB S(BOC)=36 S(AOD)=16 S(ABCD) = ? О - точка пересечения диагоналей. Надо узнать площадь трапеции.

Answer 1

Проведём высоту из основания BC к основанию AD так, чтобы она проходила через точку О и обозначим её EF. Площадь трапеции равна
$S x_{ABCD}= \frac{1}{2}(AD+BC)*EF$
Треугольники BOC и AOD подобны (из свойств трапеции)
Коэффициент подобия равен
$\frac{AD^{2} }{BC^{2} }= \frac{S_{AOD} }{S_{BOC} }= \frac{36}{16}= \frac{9}{4}; \frac{AD}{BC}= \sqrt{ \frac{9}{4} }= \frac{3}{2}$
Значит и отношение высот треугольников BOC и AOD равно
$\frac{OE}{OF}= \frac{2}{3} ; OE= \frac{2}{3}OF; OF= \frac{3}{2}OE$
$S_{BOC}= \frac{1}{2}BC*OE=16; BC*OE=32$
$S_{AOD}= \frac{1}{2}AD*OF; AD*OF=72$
Находим площадь трапеции
$S_{ABCD}= \frac{1}{2}(AD+DC)*EF= \frac{1}{2}(AD*EF+BC*EF)$=
$= \frac{1}{2}(AD(OE+OF)+BC(OE+OF)=$
$= \frac{1}{2}(AD*OE+AD*OF+BC*OE+BC*OF)=$
$= \frac{1}{2}(AD*OE+72+32+BC*OF)=$
$= \frac{1}{2}(104+AD* \frac{2}{3}OF+BC* \frac{3}{2}OE)=$
$= \frac{1}{2}(104+ \frac{2}{3}*72+ \frac{3}{2}*32)= \frac{1}{2}(104+48+48)=100$