Question

Докажите,что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1

Answer 1

:)))))))))))))))))))))))))))))))))

Answer 2

AA₁, BB₁, CC₁ - чевианы, проходящие через одну точку.

DE||AC

△DOE~△AOC => BO/OB₁ =DE/AC =DB/AC +BE/AC
△DC₁B~△AC₁C => DB/AC=BC₁/C₁A
△BA₁E~△AA₁C => BE/AC=BA₁/A₁C

BO/OB₁= BC₁/C₁A +BA₁/A₁C

Если BC₁=C₁A и BA₁=A₁C, то BO/OB₁ =2

Answer 3

Доказательство, что любые две медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим треугольник ABC и его медианы AM и BN, где M и N - середины сторон BC и AC соответственно.

Утверждение: Медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1.

Доказательство:

1. Пусть точка пересечения медиан AM и BN обозначается как P.

2. Рассмотрим отрезки AP и BP. По свойству медианы, отрезок AP делит сторону BC пополам, а отрезок BP делит сторону AC пополам.

3. Обозначим длины отрезков AP и BP как x и y соответственно.

4. Так как отрезок AP делит сторону BC пополам, то BM = MC. Аналогично, так как отрезок BP делит сторону AC пополам, то AN = NC.

5. Из пункта 4 следует, что AM = MC и BN = NA.

6. Рассмотрим треугольники AMP и BNP. Они равнобедренные, так как AM = MC и BN = NA (по пункту 5).

7. Из равнобедренности треугольников AMP и BNP следует, что углы AMP и BNP равны. Также, углы MAP и NBP равны, так как они соответственные углы при равных сторонах.

8. Из пункта 7 следует, что треугольники AMP и BNP подобны.

9. По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно. То есть, отношение длин AM и BN равно отношению длин MP и NP.

10. Обозначим длину отрезка MP как 2a и длину отрезка NP как a.

11. Из пункта 9 следует, что отношение длин AM и BN равно 2:1.

Таким образом, мы доказали, что любые две медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1.