Question

Докажите, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через ее центр.

Answer 1

Соединим центр О окружности с концами хорды АВ. ОА=ОВ=R. 

Треугольник АОВ - равнобедренный. Проведем высоту ОН  этого треугольника. 

Угол ОНВ=углу ОНА=90º

«Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один»

Следовательно, и к середине хорды можно провести только один перпендикуляр. 

Высота ОН - медиана равнобедренного треугольника.

АН=ВН. Точка Н - середина АВ. 

Следовательно,  ОН, проходящий через середину АВ, есть срединный перпендикуляр хорды АВ, ч.т.д.

Answer 2

Серединный перпендикуляр к хорде окружности

Для доказательства того, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через ее центр, мы можем использовать следующий аргумент:

Предположим, у нас есть окружность с центром O и хордой AB. Пусть M будет серединой хорды AB. Нам нужно доказать, что перпендикуляр к хорде AB, проходящий через точку M, также проходит через центр окружности O.

Для начала, давайте рассмотрим треугольник OMA. Поскольку M является серединой хорды AB, то AM и BM равны между собой. Также, по определению серединного перпендикуляра, отрезок OM будет перпендикулярен к хорде AB и будет его серединным перпендикуляром.

Теперь давайте рассмотрим треугольник OMB. В этом треугольнике также выполняется равенство AM = BM, так как M является серединой хорды AB. Кроме того, отрезок OM является перпендикуляром к хорде AB и является его серединным перпендикуляром.

Из этих двух треугольников мы видим, что отрезок OM является общим для обоих треугольников и является их общим перпендикуляром к хорде AB. Таким образом, перпендикуляр к хорде AB, проходящий через точку M, также проходит через центр окружности O.

Итак, мы доказали, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через ее центр.

Примечание

Данный ответ не содержит прямых цитат из источников, так как результаты поиска не предоставляют достаточно информации для подтверждения данного утверждения. Однако, данное утверждение является широкоизвестным и доказано в геометрии.