Question

1)Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а.Постройте сечение куба,проходящее через середины рёбер AA1 , B1C1 и CD.Найдите площадь этого сечения.2)Основание пирамиды-ромб с большей диагональю d и острым углом альфа .Все двугранные углы при основании пирамиды равны бета.Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

1)  Пусть данные середины - точки К,Р и М соответственно.
Построим сечение куба. Для этого достаточно найти точку пересечения
прямой РК с плоскостью основания. Опустим перпендикуляр РН на сторону ВС и проведем прямую НА до пересечения с прямой РК в точке Т.  ТН - проекция прямой РТ на плоскость АВСD. Соединив точки Т и М получим точку Q на ребре AD куба. КQ и QM - линии пересечения граней АА1D1D и АВСD плоскостью сечения. Остальные линии пересечения найдем, проведя в гранях куба прямые, параллельно полученным прямым, так как противоположные грани куба параллельны и значит линии пересечения этих граней третьей плоскостью также параллельны. Соединив точки К,О,Р,N,M,Q и К получим искомое сечение.
Сечение - правильный 6-угольник со стороной, равной
√(2(а²/4)) =а√2/2 (по Пифагору).
По формуле площадь этого сечения равна
S=t²*3√3/2, где t - сторона шестиугольника.Тогда
S=(а√2/2)²*3√3/2 = a²*3√3/4.
2). Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и четырех равных по площади боковых граней. Стороны ромба равны, диагонали взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам  и являются биссектрисами углов ромба.
Тогда меньшая диагональ ромба равна d=D*tg(α/2).
Сторона ромба равна a=d/(2Sin(α/2)) =D*tg(α/2)/(2Sin(α/2)).
So=a²*Sinα =D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2)).
Высота ромба равна h=So/a = a*Sinα.
h= D*tg(α/2)*Sinα/(2Sin(α/2)).
Апофема боковой грани равна
А=h/(2Cosβ), а ее площадь равна Sг=(1/2)*а*А или
Sг=(1/2)*D*tg(α/2)/(2Sin(α/2))*D*tg(α/2)*Sinα/(2Sin(α/2))/(2Cosβ).
Sг=D²*tg²(α/2)*Sinα/(16Sin²(α/2)*Cosβ).
Площадь полной поверхности равна
S=D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2)) + D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2)*Cosβ).
S=D²*tg²(α/2)*Sinα/(4Sin²(α/2))*(1+1/Cosβ).

Answer 2

1) Построение сечения куба и нахождение площади

Для построения сечения куба, проходящего через середины ребер AA1, B1C1 и CD, мы можем использовать следующий подход:

1. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1 и отметьте середины ребер AA1, B1C1 и CD. Обозначим эти точки как M, N и P соответственно. 2. Проведите прямые, проходящие через точки M, N и P и перпендикулярные ребрам куба. Обозначим пересечение этих прямых с плоскостью куба как A2, B2 и C2. 3. Полученный ромб A2B2C2D2 является сечением куба, проходящим через середины ребер AA1, B1C1 и CD.

Чтобы найти площадь этого сечения, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите длину диагонали ромба A2B2C2D2. Обозначим ее как d1. 2. Найдите длину стороны ромба A2B2C2D2. Обозначим ее как a1. 3. Используя формулу площади ромба, вычислите площадь сечения куба:

Площадь сечения = (d1 * a1) / 2

2) Площадь полной поверхности пирамиды

Для вычисления площади полной поверхности пирамиды с ромбическим основанием, у которого большая диагональ равна d и острый угол между сторонами альфа, а все двугранные углы при основании равны бета, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите длину стороны ромба основания пирамиды. Обозначим ее как a. 2. Найдите длину меньшей диагонали ромба основания пирамиды. Обозначим ее как d2. 3. Найдите высоту пирамиды, используя теорему косинусов для треугольника, образованного стороной ромба основания и высотой пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как h. 4. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды с помощью формулы:

Площадь полной поверхности = a * (d + d2) + 2 * a * h * tan(beta)

Где: - d - большая диагональ ромба основания пирамиды - d2 - меньшая диагональ ромба основания пирамиды - a - длина стороны ромба основания пирамиды - h - высота пирамиды - beta - двугранный угол при основании пирамиды

Обратите внимание, что для использования тангенса в формуле площади полной поверхности, угол beta должен быть выражен в радианах.