Question

Даю много баллов!!!!!! Площадь треугольника АВС равна 1. На сторонах АВ, ВС, СА, взяты соответственно точки А1, В1, С1 так, что АА1 : А1В = 1:2, ВВ1 : В1С = 1:3, точка С1 делит сторону АС пополам. Найдите площадь треугольника А1В1С1.

Answer 1

К треугольнику A1B1C1 примыкают 3 треугольника. Используя формулу S = 0,5*X*Y*sin(a), можно показать, что площадь каждого из них равна 2/9 от площади АВС, т.е. 6 см2. 
Тогда площадь A1B1C1 равна 27-3*6 = 9 см2.

Answer 2

Пусть S1, S2 и S3 - площади треугольников АА1В, ВВ1С и СС1А соответственно.

Так как АА1 : А1В = 1 : 2, то площадь треугольника АА1В равна S1 = (1/3) * S.

Также, так как ВВ1 : В1С = 1 : 3, то площадь треугольника ВВ1С равна S2 = (1/4) * S.

Так как точка С1 делит сторону АС пополам, то площадь треугольника СС1А равна S3 = (1/2) * S.

Таким образом, площадь треугольника А1В1С1 равна S - S1 - S2 - S3.

Заметим, что треугольники АА1В, ВВ1С и СС1А образуют внутри треугольника АВС систему подобных треугольников, так как соотношения длин сторон АА1 : А1В = 1 : 2, ВВ1 : В1С = 1 : 3 и АС : СС1 = 1 : 1 сохраняются при подобии.

Поэтому, площадь треугольника А1В1С1 равна S - S1 - S2 - S3 = S * (1 - 1/3 - 1/4 - 1/2) = S * (12/12 - 4/12 - 3/12 - 6/12) = S * (12 - 4 - 3 - 6) / 12 = S * (-1/12) = -S/12.

Таким образом, площадь треугольника А1В1С1 равна -S/12, где S - площадь треугольника АВС.