Question

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC и BC в точках K и M соответственно. Найдите радиус окружности,описанной вокруг треугольника ABC (в см), если AK = 4,5 см, MB = 6 см.

Answer 1

АК=АР=4,5, т.к. отрезки касательных. Р-точка касания вписанной окружности гипотенузы.
МВ=ВР=6, .к. отрезки касательных
 Гипотенуза АВ=4,5=6=10,5
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности всегда лежит на середине гипотенузы, следовательно АВ=d=2*R⇒R=10,5/2=5,25

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанной окружности прямоугольного треугольника.

Согласно свойству, радиус вписанной окружности равен половине гипотенузы треугольника. Так как гипотенуза треугольника ABC равна AC, то радиус вписанной окружности равен половине AC.

Также, согласно свойству, радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине произведения катетов, деленного на площадь треугольника. Площадь треугольника ABC равна половине произведения катетов AC и BC. Таким образом, радиус описанной окружности равен половине произведения катетов, деленного на площадь треугольника.

Для нахождения радиуса описанной окружности, нам необходимо найти площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника через длины сторон:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле p = (a + b + c) / 2.

В нашем случае треугольник ABC - прямоугольный, поэтому одна из его сторон равна гипотенузе, а другие две стороны - катеты. Таким образом, a = AC, b = BC, c - гипотенуза треугольника.

Итак, имеем:

a = AC = AK + KC = 4,5 см + KC, b = BC = BM + MC = 6 см + MC, c = AB.

Также, по теореме Пифагора, c^2 = a^2 + b^2.

Подставляем значения a и b в формулу площади треугольника:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p = (a + b + c) / 2.

Теперь имеем все необходимые данные для нахождения радиуса описанной окружности:

радиус описанной окружности = (a * b * c) / (4 * S).

Подставляем значения a, b, c и S в формулу и находим радиус описанной окружности.