Question

Фигура F ограничена линиями y = 1/x, x = 1 и осью абсцисс. а) Имеет ли фигура F конечную площадь? б) Фигуру F вращают вокруг оси абсцисс. Имеет ли полученное тело вращения конечный объём? Очень подробно если можно то с рисунком (желательно)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Фигура F ограничена линиями y = 1/x, x = 1 и осью абсцисс

Фигура F ограничена линиями y = 1/x, x = 1 и осью абсцисс. Это означает, что график функции y = 1/x ограничен в области, где x > 0 и y > 0. Функция y = 1/x представляет собой гиперболу, которая проходит через точку (1, 1) и стремится к нулю по обоим осям.

а) Имеет ли фигура F конечную площадь?

Чтобы определить, имеет ли фигура F конечную площадь, нужно вычислить интеграл от функции y = 1/x в пределах ограниченной области. Однако, так как функция y = 1/x имеет вертикальную асимптоту при x = 0, интеграл будет расходиться и площадь фигуры F будет бесконечной.

б) Фигуру F вращают вокруг оси абсцисс. Имеет ли полученное тело вращения конечный объём?

Если фигуру F вращать вокруг оси абсцисс, то получится тело вращения. Чтобы определить, имеет ли это тело конечный объем, нужно вычислить объем тела вращения с помощью интеграла. Однако, так как функция y = 1/x имеет вертикальную асимптоту при x = 0, интеграл будет расходиться и объем полученного тела вращения будет бесконечным.

Вот график функции y = 1/x и ограниченной области:


Помните, что фигура F ограничена линиями y = 1/x, x = 1 и осью абсцисс, и имеет бесконечную площадь и объем при вращении вокруг оси абсцисс.