Question

Какова взаимосвязь между радиусами вписанных окружностей подобных треугольников?

Answer 1

Поскольку в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности

r = (a + b - c)/2, то в подобных треугольниках отношение радиусов такое же, как отношение сторон. Это означает, что

r2/r1 = h/x (отношение малых катетов в треугольниках)

Answer 2

Для понимания взаимосвязи между радиусами вписанных окружностей подобных треугольников давайте рассмотрим некоторые основные свойства.

1. Схожие треугольники: Если два треугольника подобны, то соответствующие углы равны, и их стороны пропорциональны.

2. Вписанные окружности в треугольниках: Вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон. Если треугольники подобны, то отношение сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равно отношению радиусов вписанных окружностей этих треугольников.

Другими словами, если \(k\) - коэффициент подобия (отношение длины соответствующей стороны одного треугольника к длине соответствующей стороны другого треугольника), то отношение радиусов вписанных окружностей будет также равно \(k\).

Математически это можно записать следующим образом. Пусть у нас есть два подобных треугольника \(ABC\) и \(A'B'C'\), и их вписанные окружности имеют радиусы \(r\) и \(r'\) соответственно. Пусть также \(k\) - коэффициент подобия.

Тогда для любой стороны треугольника выполняется: \[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k \]

И, следовательно, отношение радиусов вписанных окружностей: \[ \frac{r}{r'} = k \]

Таким образом, можно заключить, что радиусы вписанных окружностей подобных треугольников пропорциональны коэффициенту подобия треугольников.