Question

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 10 проведена медиана, равная √153. Найдите длину медианы, проведенной к основанию треугольника.

Answer 1

Задачу можно решать разными способами.

Ниже предложены два с  самыми простыми, на мой взгляд, вычислениями. 

1)

Формула медианы треугольника

М=0,5•√(2a²+2b²-c²). где а и b стороны, между которыми проведена медиана, с - сторона, к которой она проведена. 

Обозначим треугольник АВС, АВ=ВС=10,  АС=х, медиана АМ=√153

√153=0,5•√(200+2x² -100)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

153= 0,25•(100+2х²) откуда

153:0,25=100+2х²

2х²=512⇒

х²=256 

х=16 

ВН - медиана, ⇒АН=СН=8

По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, ВН - его высота. ⇒

∆ АВН прямоугольный. 

По т.Пифагора ( или заметив, что ∆ АВН - египетский) находим длину медианы ВН=6.

Или 

2) 

Продлим медиану АМ на её длину до точки Е, соединим В и С с т.Е. Четырехугольник АВЕС - параллелограмм ( по признаку: диагонали в т.пересечения делятся пополам). 

По свойству параллелограмма 

d²+D²=(2•(a²+b²),  где d и D - диагонали параллелограмма, , а и b - его стороны. 

ВС²+АЕ²=2•(АВ²+АС²) 

АЕ=2•√153 ⇒

100+612=2•(100+АС²) ⇒

АС=16

Медиана ВН находится, как в первом решении. . 

Answer 2

Пусть треугольник ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC = 10. Проведем медиану AM, где M - середина стороны BC. По условию, AM = √153.

Так как AM является медианой, то BM = CM = AB/2 = 10/2 = 5.

Рассмотрим треугольник ABC. Введем обозначение: h - высота треугольника, проведенная из вершины A.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то высота h является также медианой и точкой пересечения медиан является M.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. В этом треугольнике известны катеты AM и BM. Найдем гипотенузу AB:

AB^2 = AM^2 + BM^2 10^2 = √153^2 + 5^2 100 = 153 + 25 100 = 178

Получили противоречие, так как левая и правая части равенства не совпадают. Значит, данная ситуация невозможна.

Возможными ошибками могут быть: 1. Ошибка в условии задачи. 2. Ошибка в записи числа √153. 3. Ошибка в расчетах.

Проверьте условие задачи и правильность записи числа √153. Если все данные верны, то следует пересчитать все расчеты.