Question

ребро правильного тетраэдра ABCD равно альфа.Найти периметр и площадь сечения тетраэдра площадью,которая проходит через ребро АС перпендикулярноBD

Answer 1

Если соединить середину ребра АС точку М с серединой ребра ВД (точкой К), то получим отрезок МК, перпендикулярный и ВД и АС (общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ВД и АС.Это следует из того, что в ΔМВД МВ=МД ( это высоты в равных гранях тетраэдра) ⇒ МК перп-но ВД (медиана в равнобедренном Δ явл-ся и высотой).Аналогично, ΔАКС равнобедренный и медиана КМ явл. высотой. Плоскость АКС перпенд-на ВД, так как АК перп.ВД (в ΔАВД) и КС перп. ВД (в ΔВСД).

ΔАКС - искомое сечение.АС=а.АК=КС.ИзΔАВД найдем АК.

АК²=АД²-КД²=а²-(а/2)²=3а²/4,  АК=а√3/2.

ИзΔАКС: КМ²=АК²-АМ²=3а²/4-а²/4=2а²/4=а²/2,  КМ=а/√2

Площадь ΔАКС: S=КМ*АМ=а/√2 * а/2=а²/(2√2)=а²√2/4

Периметр Р=а+2*а√3/2=а+а√3=а(1+√3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами правильного тетраэдра.

Первым шагом необходимо найти высоту тетраэдра (h), опущенную на ребро АС. Так как тетраэдр правильный, то высота будет проходить через центр основания ABCD и будет равна радиусу вписанной сферы.

Известно, что высота тетраэдра является биссектрисой треугольника ABC, поэтому можно применить теорему биссектрисы:

h = (2/3) * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника ABC, a, b, c - его стороны.

Так как тетраэдр ABCD является правильным, то все его ребра равны альфа:

AB = BC = CD = DA = α

Теперь, зная высоту h, можно найти площадь сечения тетраэдра, проходящего через ребро АС перпендикулярно BD. Площадь сечения равна площади треугольника АСD:

S_сечения = (1/2) * AC * h

Так как треугольник АСD является прямоугольным, то его гипотенуза AC равна диагонали тетраэдра, которая равна 2α.

AC = 2α

Теперь, зная все необходимые значения, можно найти периметр и площадь сечения тетраэдра.

Периметр тетраэдра равен сумме длин его ребер:

P = AB + BC + CD + DA = α + α + α + α = 4α

Площадь сечения тетраэдра равна площади треугольника АСD:

S_сечения = (1/2) * AC * h = (1/2) * 2α * h = αh

Таким образом, периметр тетраэдра равен 4α, а площадь сечения тетраэдра равна αh.