Question

Правильный многоугольник при повороте относительно своего центра на угол 84градусов переходит сам в себя. Какое наименьшее число сторон может иметь такой многоугольник? Помогите пожалуйста!!

Answer 1

Чтобы многоугольник при повороте 84° переходил сам в себя нужно, чтобы градусная мера того количества секторов, на которые будет совершён поворот, совпадала с самим углом поворота. Совершенно очевидно, что если разбить окружность на 360 секторов, получив трёхсотшестидесятиугольник и провернуть его 84°, многоугольник совпадёт. Теперь нужно сократить количество секторов. Для этого сократим отношение количества градусов поворота к количеству градусов в окружности.
84:360=42:180=21:90=7:30.
Больше сократить нельзя. Это значит, что при повороте тридцатиугольника на 84° проскочат 7 секторов и он совпадёт.
Проверка: 360°/30*7=84°.
Ответ. 30 сторон.

Answer 2

Наименьшее число сторон у многоугольника, который при повороте на угол 84 градусов относительно своего центра переходит сам в себя, равно 15.

Для того чтобы найти наименьшее число сторон такого многоугольника, мы должны найти наименьшее натуральное число, которое является делителем 360 (полный оборот в градусах) и отличается от 360 нацелое число раз.

Угол поворота 84 градуса можно представить как 360 градусов минус некоторое целое число оборотов. Таким образом, мы ищем наименьшее натуральное число, которое является делителем 360 и отличается от 360 нацелое число раз.

Наименьшее такое число равно 15. При повороте многоугольника на 84 градуса 15 раз, он вернется в исходное положение.

Итак, наименьшее число сторон у такого многоугольника равно 15.

Источник: - [XV - ... - Calamo](https://www.calameo.com/read/000080056a2d2c5e4f0d7)