Question

В трапеции MNPK (MK II NP) продолжения боковых сторон MN и KP пересекаются в точке T. а) Докажите, что треугольник NTP и MTK подобны б) Найдите площадь треугольника TMK, если известно, что TN : NM = 5 : 3, а площадь треугольника NTP равна 75

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

a) Чтобы доказать, что треугольники NTP и MTK подобны, нам нужно показать, что у них соответствующие углы равны, и что соотношение длин их сторон одинаково.

1) Углы: Угол NTP равен углу MTK, так как они являются вертикальными углами (вершина T, сторона NP пересекает сторону MK). Угол TNP равен углу TMK, так как они являются соответственными углами (пересекающиеся прямые TN и MK пересекаются с параллельными прямыми NP и KP).

2) Соотношение длин сторон: По условию, TN : NM = 5 : 3. Также, по свойству подобных треугольников, соотношение длин сторон треугольников NTP и MTK должно быть таким же. Поэтому, TP : MK = 5 : 3.

Таким образом, мы показали, что треугольники NTP и MTK подобны.

b) Площадь треугольника NTP равна 75.

Поскольку треугольники NTP и MTK подобны, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения длин их сторон. То есть, площадь треугольника NTP : площадь треугольника MTK = (TN/NM)^2 = (5/3)^2 = 25/9.

Площадь треугольника MTK = (25/9) * площадь треугольника NTP = (25/9) * 75 = 625/3.

Таким образом, площадь треугольника TMK равна 625/3.