Question

биссектриса угла BAC треугольника АВС пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке М.докажите что МВ=МС.

Answer 1

начертить треугольник и описанную окружность проведем биссектрису АМ угла БАС

она делит отрезок БС на БО и ОС.треугл.АБО=треугл.АОС по двум углам и общей стороне =>БО=ОС.треугл.БОМ=треугл.МОС по двум сторонам и углу между ними => 

МБ=МС

 

Answer 2

Биссектриса угла BAC треугольника АВС

Биссектриса угла BAC треугольника АВС - это линия, которая делит угол BAC на два равных угла. Давайте докажем, что точка М, где биссектриса пересекает описанную около треугольника окружность, является серединой дуги BC этой окружности.

Доказательство

Для начала, обратимся к свойству биссектрисы угла. Согласно этому свойству, биссектриса угла BAC делит противоположную сторону BC на отрезки, пропорциональные смежным сторонам AB и AC треугольника ABC.

Пусть точка М делит сторону BC на отрезки MB и MC, причем MB/AB = MC/AC. Нам нужно доказать, что MB = MC.

Для этого обратимся к теореме о сегменте окружности, которая говорит, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков каждой хорды равно.

Применим эту теорему к треугольнику ABC и окружности, описанной вокруг него. Пусть O - центр этой окружности. Тогда, по теореме о сегменте окружности, MB * MC = AB * AC.

Также, по свойству биссектрисы, AB/AC = MB/MC. Подставим это в предыдущее равенство: (MB/MC) * MC * MC = AB * AC.

Упростим это равенство: MB * MC = AB * AC.

Таким образом, мы доказали, что MB * MC = AB * AC. Но мы также знаем, что MB/AB = MC/AC. Из этих двух равенств следует, что MB = MC.

Таким образом, мы доказали, что MB = MC, что означает, что точка М является серединой дуги BC окружности, описанной вокруг треугольника АВС.

Заключение

Мы доказали, что точка М, где биссектриса угла BAC треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность, является серединой дуги BC этой окружности. Таким образом, МВ = МС.

[[6]](https://lyceum.urfu.ru/fileadmin/user_upload/PrepCourseGeom.pdf)