Question

помогите пожалуйста в равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота проведенная к нему, 12 см. Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник и радиус окружности, описанной около него.

Answer 1

Площадь треугольника S = 12*10/2 = 60;

Высота к основанию делит треугольник на два прямоугольных с катетами 12 и 5, поэтому боковые стороны равны 13 (5,12,13 - Пифагорова тройка).

ПОЛУпериметр р = (13 + 13 + 10)/2 = 18;

r = S/p = 10/3;

R = 13*13*10/(4*60) = 169/24;

 

Для R есть и другие способы вычисления, кроме тупого применения формулы R = abc/4S;

К примеру, синус угла при основании равен 12/13, откуда по теореме синусов 2*R*(12/13) = 13; R = 169/24; или можно продлить высоту к основанию до пересечения с описанной окружностью и записать из подобия трегольников 13/(2R) = 12/13; откуда еще проще получается ответ.

 

Answer 2

Вычисление радиуса вписанной и описанной окружностей в равнобедренном треугольнике

Для начала, мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, что биссектриса угла, проведенного к основанию, делит его на два равных отрезка, а также свойство описанной окружности, которая проходит через вершины треугольника.

Радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник можно найти по формуле: \[ r = \frac{a}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

где \(a\) - длина основания треугольника, \(\alpha\) - угол при вершине треугольника.

Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти по формуле: \[ R = \frac{a}{2} \cdot \csc\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

где \(a\) - длина основания треугольника, \(\alpha\) - угол при вершине треугольника.

Вычисления:

Для заданных параметров: - Основание треугольника \(a = 10\) см - Высота, проведенная к основанию \(h = 12\) см

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину боковой стороны треугольника: \[ b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

где \(b\) - длина боковой стороны треугольника.

Затем, мы можем найти угол при вершине треугольника: \[ \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \] \[ \alpha = 2 \cdot \arctan(\frac{h}{\frac{a}{2}}) \]

Теперь, подставив полученные значения \(a\), \(h\) и \(\alpha\) в формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей, мы можем вычислить радиусы.

Позвольте мне вычислить значения.