Question

Некоторая прямая, что паралельна основанию MK равнобедренного треугольника MPK, пресекает стороны MP и PK в точках B и C соответсвенно. Точка A делит отрезок MK в соотношении 1 к 3, начиная от точки M, BC = 2AM. Найти угол MAB

Answer 1

Зная, что точка A делит отрезок MK в соотношении 1 к 3, начиная от точки M, запишем: MA/AK=1/3. Тогда, если MA=x, то AK=3x. Кроме этого, так как BC=2AM, то ВС=2x.

Найдем длину отрезка МК: МК=МА+АК=х+3х=4х.

Заметим, что МК=2ВС - основание треугольника в 2 раза больше, чем нгекий отрезок, параллельный ему же и соединяющий боковые стороны. Значит, ВС - средняя линия. Получим следующие равные отрезки: МВ=ВР=РС=СК.

Проведем высоту РН. Так как высота равнобедренного треугольника является также и медианой, то ВН=НС=х.

Рассмотрим треугольники РНВ и ВАМ. В этих треугольниках ВР=МВ; ВН=МА=х; углы В и М равны, так как они являются соответственными при пересечении параллельных прямых ВС и МК секущей МВ. Значит, по двум сторонам и углу между ними эти треугольники равны. В равных треугольниках против равных стороны (в данном случае ВР и МВ) лежат равные углы (в данном случае ВНР и МАВ). Угол ВНР прямой, значит и угол МАВ прямой.

Ответ: 90 градусов

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллельных прямых и равнобедренного треугольника.

Поскольку прямая BC параллельна основанию MK равнобедренного треугольника MPK, то угол BAC равен углу MKP (по свойству параллельных прямых). Также, по свойству равнобедренного треугольника, угол MPK равен углу PKM.

Итак, у нас есть равенство углов BAC и PKM.

Также, по условию задачи, точка A делит отрезок MK в соотношении 1 к 3, начиная от точки M. Это означает, что отрезок MA в 3 раза короче отрезка MK, а отрезок AK в 1 раз короче отрезка MK.

Из этого следует, что отрезок AK в 2 раза короче отрезка MA. То есть, отношение длины отрезка AK к длине отрезка MA равно 1:2.

Так как BC = 2AM, то отношение длины отрезка BC к длине отрезка AK также равно 1:2.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что отношение длины отрезка BC к длине отрезка AK равно 1:2. Также, угол BAC равен углу PKM.

Таким образом, треугольник ABC подобен треугольнику PKM по двум сторонам и одному углу.

Из подобия треугольников следует, что угол MAB равен углу MPK.

Таким образом, угол MAB равен углу MPK, который равен углу PKM.