Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD . б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 12 и BD = 6.5

Answer 1

А)Пусть ∠ВАС=х, тогда, т.к. АВС - равнобедренный, ∠ВСА=х. ∠САD=∠ВСА как накрест лежащие углы, ∠САD=x. ∠САD=∠ВАС⇒АС - биссектриса. ч.т.д.
б) Т.к. АВС - равнобедренный, а ∠ВАD=2x, то и ∠BDA=2x. ∠DBC=BDA как скрещенные. ∠DBC=2х. 
Рассмотрим АВС. Найдем косинус угла х. По теореме косинусов имеем:
$6,5^2=6,5^2+12^2-2*12*6,5*cosx\\12*13*cosx=144\\cosx= \frac{12}{13}$
Синус х из основного тригонометрического тождества $sin^2x+cos^2x=1$ равен $sinx= \sqrt{1- \frac{12^2}{13^2} } = \sqrt{ \frac{25}{169} } = \frac{12}{13}$
Рассмотрим треугольник ВСD. По теореме косинусов:
$CD= \sqrt{6,5^2+6,5^2-2*6,5*6,5*cos2x} = \\ = \sqrt{2*6,5^2-2*6,5^2(cos^2x-sin^2x)} = \sqrt{2*6,5^2(1-cos^2x+sin^2x)} \\ = \sqrt{84,5(1- \frac{144}{169} + \frac{25}{169} )} = \sqrt{84,5* \frac{50}{169} } = \sqrt{\frac{4225}{169}} = \frac{65}{13} =5$
Ответ: 5.