Question

Внутри параллелограмма АВСD отмечена точка М. Докажите, что сумма площадей треугольников AВM и СДМ равна половине площади параллелограмма

Answer 1

Паралелограмм АВСД, АВ=СД, ВС=АД, проводим высоту МК на АВ в треугольнике АВМ, площадь АВМ=1/2АВ(СД)*МК, проводим высоту МН на СД в треугольнике СДМ, площадь СДМ=1/2*СД*МН, площадь АВМ+площадьСДМ=1/2*СД*МК+1/2*СД*МН=1/2*СД*(МК+МН), но МК+МН=КН=высота параллелограмма, тогда площадьАВМ+площадьСДМ=1/2*СД*КН, площадь АВСД=СД*КН, сумма площадей треугольников=1/2площадиАВСД

Answer 2

Доказательство равенства площадей треугольников AВМ и СДМ

Для доказательства равенства площадей треугольников AВМ и СДМ внутри параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства треугольников.

Шаг 1: Докажем, что треугольники AВМ и СДМ имеют одинаковую высоту относительно основания AB параллелограмма ABCD.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, сторона AB параллелограмма ABCD параллельна стороне CD.

Пусть H1 и H2 - высоты треугольников AВМ и СДМ соответственно относительно основания AB.

Так как сторона AB параллельна стороне CD, то H1 и H2 - это высоты треугольников AВМ и СДМ относительно одной и той же основы AB.

Шаг 2: Докажем, что основания треугольников AВМ и СДМ равны.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны. Таким образом, сторона AM параллелограмма ABCD равна стороне CD, и сторона DM равна стороне AB.

Шаг 3: Докажем, что площади треугольников AВМ и СДМ равны.

Так как треугольники AВМ и СДМ имеют одинаковую высоту относительно основания AB и равные основания, то их площади равны.

Таким образом, площадь треугольника AВМ равна площади треугольника СДМ.

Вывод

Мы доказали, что сумма площадей треугольников AВМ и СДМ равна половине площади параллелограмма ABCD.