Question

В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Из точки D опущен перпендикуляр DK на сторону ВС. Найдите DK

Answer 1

Это просто половина высоты треугольника (высота - это расстояние от вершины до противоположной стороны, а от середины стороны расстояние в 2 раза меньше, чем от вершины :)) Высота равна a√3/2, поэтому => Ответ a√3/4

Answer 2

Для решения этой задачи в равностороннем треугольнике АВС с высотой BD мы можем использовать свойства равностороннего треугольника и прямоугольного треугольника.

Свойства равностороннего треугольника

- В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. - Все углы равны 60 градусов.

Свойства прямоугольного треугольника

- В прямоугольном треугольнике с высотой, проведенной к гипотенузе, высота является средней пропорциональной между катетами. То есть, если высота разделяет гипотенузу на отрезки m и n, то она удовлетворяет соотношению m/h = h/n, где h - высота, m и n - отрезки гипотенузы.

В нашем случае, точка D является основанием высоты BD, а точка K - основанием перпендикуляра DK на сторону ВС.

Так как треугольник АВС является равносторонним, все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны а.

Также, так как треугольник АВС равносторонний, угол ВАС равен 60 градусов. Тогда, угол ВАD равен половине угла ВАС, то есть 30 градусов.

Нахождение длины отрезка DK

Чтобы найти длину отрезка DK, нам нужно использовать соотношение между сторонами и высотой в прямоугольном треугольнике.

Обозначим длину отрезка DK как х.

Так как треугольник ВДК является прямоугольным, угол ВКД равен 90 градусов.

Используя соотношение между сторонами и высотой в прямоугольном треугольнике ВДК, получаем:

х/х+а = а/х

Решая эту пропорцию, мы можем найти длину отрезка DK.

Подставим а/х вместо х/х+а, получим:

х/(х+а) = а/х

Мы можем умножить обе части уравнения на х(х+а):

х^2 = а(х+а)

Раскроем скобки:

х^2 = ах + а^2

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

х^2 - ах - а^2 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта.

Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = 1, b = -а, c = -а^2.

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (-а)^2 - 4(1)(-а^2)

D = а^2 + 4а^2

D = 5а^2

Так как дискриминант D положительный, это означает, что у нас есть два корня для нашего уравнения.

Корни уравнения х^2 - ах - а^2 = 0:

х1 = (а + √(5а^2))/2

х2 = (а - √(5а^2))/2

Таким образом, мы нашли два возможных значения для длины отрезка DK.

Подставляя вместо а длину стороны треугольника, мы можем найти конкретное значение для DK.