Question

Дано точка А(3;5). Як пов’язані координати всіх точок В таких, що вектори AB i a колінеарні, якщо a(-1;4). ​

Answer 1

Ответ:

Вектор AB = (x - 3; y - 5), а вектор a = (-1; 4). Вектори колінеарні, якщо один з них можна отримати, помноживши інший на деяке число. Тобто, існує таке число k, що вектор AB = k * a.

Отже, маємо систему рівнянь:

x - 3 = -k

y - 5 = 4k

Розв’язуємо її:

x = 3 - k

y = 5 + 4k

Отже, координати точок В пов’язані з координатами точки А та вектором a таким чином:

x = 3 - k

y = 5 + 4k

де k - довільне число.

Answer 2

Давайте спробуємо зрозуміти, як пов'язані координати точок B, які лежать на прямій, колінеарній з вектором AB, де A(3;5) і вектор a(-1;4).

Вектор AB можна представити як різницю координат точок A і B. Тобто, якщо B(x, y), то вектор AB = (x - 3, y - 5).

Тепер, давайте використаємо умову колінеарності. Вектори AB і a колінеарні, якщо один з них можна представити як множення іншого на деяке число (коефіцієнт пропорційності).

Отже, (x - 3, y - 5) = k * (-1, 4), де k - це коефіцієнт пропорційності.

Розкриваємо множення: - (x - 3) = -k, - (y - 5) = 4k.

Зараз розв'яжемо цю систему рівнянь. Перше рівняння дає нам k = 3 - x, а підставивши це у друге рівняння, отримаємо (y - 5) = 4(3 - x).

Розкриваємо дужки: y - 5 = 12 - 4x.

Тепер переносимо -5 на інший бік: y = -4x + 17.

Отже, координати точок B, що лежать на прямій, колінеарній з вектором AB, де A(3;5) і вектор a(-1;4), можна представити як B(x, -4x + 17), де x - будь-яке дійсне число.

Це рівняння прямої, яка пройде через точку A і буде колінеарною з вектором a(-1;4).