Question

Срочно повний розв'язок!!!!!! Площина а проходить через середини сторін АВ і ВС трикутника АВС. Знайти довжину відрізка АС, якщо відстань між точками перетину площини а зі сторонами АВ і ВС трикутника АВС дорівнює 4,6 см.​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі скористаємось властивостями серединного перпендикуляра.

Спочатку зобразимо заданий трикутник ABC і площину а, що проходить через середини сторін AB і BC. Нехай точки перетину площини а зі сторонами AB і BC позначимо як P і Q відповідно.

Враховуючи, що площина а проходить через середину сторон AB, то вектор AP буде перпендикулярний площині а. Аналогічно, вектор CQ буде перпендикулярний площині а, оскільки площина а проходить через середину сторони BC.

Таким чином, відрізок PQ є перпендикуляром до площини а. Відстань між точками P і Q становить 4,6 см.

Знаючи перпендикулярність векторів AP і CQ до площини а, можемо використовувати теорему Піфагора у прямокутних трикутниках APQ і CQ.

Обчислимо довжину відрізка PQ у прямокутному трикутнику APQ: AP^2 = AQ^2 + PQ^2 (теорема Піфагора) Знаючи, що AP = BP / 2 (оскільки точка P є серединою сторони AB), і BP = BC, отримуємо: (AP)^2 = (BC)^2 + (PQ)^2

Аналогічно, обчислимо довжину відрізка PQ у прямокутному трикутнику CQ: (CQ)^2 = (AB)^2 + (PQ)^2

Оскільки точки P і Q знаходяться на сторонах AB і BC, відрізок AB = AC + BC. Замінюючи це у формулу для (CQ)^2, отримаємо: (CQ)^2 = (AC + BC)^2 + (PQ)^2

Таким чином, ми отримали дві рівності для вирішення системи рівнянь: (AP)^2 = (BC)^2 + (PQ)^2 (CQ)^2 = (AC + BC)^2 + (PQ)^2

Розв'яжемо цю систему рівнянь числовими методами. Підставимо вирази для AP і CQ: (BC/2)^2 = (BC)^2 + (4,6)^2 (AC + BC)^2 = (AC)^2 + (BC)^2 + (4,6)^2

Розкриємо дужки та спростимо рівняння: BC^2/4 = BC^2 + 21.16 (AC + BC)^2 = AC^2 + BC^2 + 21.16

Відси разкриваємо праву частину рівнянь та спрощуємо: BC^2/4 - BC^2 = 21.16 AC^2 + 2AC*BC + BC^2 = AC^2 + BC^2 + 21.16

Звідси отримуємо: -3BC^2/4 = 21.16 2AC*BC = 21.16

Оскільки довжина відрізка BC має додатне значення, то можемо скористатися другим рівнянням: 2AC*BC = 21.16 AC*BC = 10.58

Знаючи, що площина а проходить через середини сторін AB і BC, можемо зрозуміти, що відрізок AC ділиться на два рівні відрізки. Отже, AC = 2BC.

Підставимо AC = 2BC у рівняння AC*BC = 10.58: 2BC*BC = 10.58 2BC^2 = 10.58 BC^2 = 10.58 / 2 BC^2 = 5.29 BC = sqrt(5.29) BC ≈ 2.3 см

Таким чином, довжина відрізка BC дорівнює приблизно 2.3 см. Оскільки AC = 2BC, то довжина відрізка AC дорівнює 2.3 * 2 = 4.6 см.