Question

Площина о перетинає сторони АВ і ВС трикутника АВ у точках F і Е відповідно й паралельна стороні АС. Знайдіт довжину відрізка АС, якщо РЕ=8 см і ВР:РА=2:1.

Answer 1

Пусть x обозначает длину отрезка АС. Так как сторона ВР в отношении 2:1, то длина отрезка ВР составляет две трети (2/3) от x, а отрезка РА - одну треть (1/3) от x.

Из условия задачи известно, что ПЕ = 8 см. Так как отрезок РЕ - это сумма отрезков РФ и ФЕ, то ПФ + ФЕ = 8 см.

Также, поскольку стороны ФЕ и АС параллельны, у них есть соответственные углы, которые равны друг другу. Значит, треугольники PFE и ABC подобны.

Мы можем использовать пропорцию между соответственными сторонами этих треугольников:

ПФ / РА = ФЕ / АС

Заменяя известные значения, получим:

(2/3)x / (1/3)x = 8 / АС

Упрощая выражение, получим:

2 = 8 / АС

Переставляя переменные, найдем:

АС = 8 / 2

АС = 4 см

Таким образом, длина отрезка АС составляет 4 см.

Answer 2

Задача вимагає використання подібних трикутників та властивостей відрізків у подібних трикутниках.

Нехай точки \( P \), \( Q \), і \( R \) лежать на відрізку \( BC \) так, що \( BQ: QC = 2:1 \). Отже, \( BQ = \frac{2}{3} \cdot BC \) і \( QC = \frac{1}{3} \cdot BC \).

Також, враховуючи властивості подібних трикутників, ми можемо сказати, що трикутники \( ABC \) і \( AFE \) подібні. Таким чином, відповідності сторін цих трикутників такі:

\[ \frac{AB}{AF} = \frac{BC}{FE} = \frac{AC}{AE} \]

Ми знаємо, що \( BC = BE + EC \) (з властивостей площини \( BEC \)). Позначимо \( BE = x \) і \( EC = y \). Тоді ми можемо виразити \( BC \) через \( x \) і \( y \):

\[ BC = x + y \]

Враховуючи це, ми можемо записати відповідності сторін подібних трикутників у вигляді:

\[ \frac{AB}{AF} = \frac{x + y}{x} \quad \text{та} \quad \frac{AC}{AE} = \frac{x + y}{y} \]

Також маємо відношення для відрізків \( BR \) та \( RP \):

\[ \frac{BR}{RP} = \frac{2}{1} \quad \text{або} \quad \frac{BR}{BP} = \frac{2}{3} \]

Ми знаємо, що \( BR = BC \), тому \( BC/BP = 2/3 \). Позначимо \( BC = h \), тоді \( BP = \frac{3}{2} \cdot h \).

Тепер врахуємо відомі відношення \( BP = BE + EP \) та \( EP = ER + RP \):

\[ \frac{3}{2} \cdot h = x + 8 \]

Ми отримали систему двох рівнянь з двома невідомими:

\[ \begin{cases} \frac{x + y}{x} = \frac{AB}{AF} \\ \frac{x + y}{y} = \frac{AC}{AE} \\ \frac{3}{2} \cdot h = x + 8 \end{cases} \]

Розв'язавши цю систему, можна отримати значення \( x \), \( y \) та \( h \), а потім визначити довжину відрізка \( AC \):

\[ AC = x + y \]

Це використовує поняття подібних трикутників та властивостей відрізків у подібних трикутниках.