Question

Один из катетов прямоугольного треугольника 8, а гипотенуза относится к другому катету как 5 : 3. Найдите площадь треугольника

Answer 1

Ответ:       24 см².

Объяснение:

ABC - треугольник.

катет a=8 см

с/b =5x/3x, где с - гипотенуза, b - второй катет, х - одна часть сторон треугольника. Тогда

по т. Пифагора

c²=a²+b²;

(5x)² = 8²+(3x)²;

(5x)² - (3x)² = 8²;

(5x+3x)(5x-3x) = 8²;

8x*2x = 8²;

16x² = 64;

x² = 64/16;

x²=4;

x=±2.  (-2 - не соответствует условию)

x=2 см

*******************

b=3x=3*2 = 6 см.

с=5x = 5*2=10 см.

*********************

Площадь S(ABCD) = 1/2 ab = 1/2 *8*6 = 24 см².

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), где \(a = 8\) - известный катет, и гипотенуза как \(c\). Мы знаем, что отношение гипотенузы к другому катету равно \(5:3\), что можно записать как:

\[ \frac{c}{b} = \frac{5}{3} \]

Теперь давайте решим уравнение относительно \(c\):

\[ c = \frac{5}{3}b \]

Также, используя теорему Пифагора, мы знаем, что

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим значение \(c\) из первого уравнения во второе:

\[ \left(\frac{5}{3}b\right)^2 = a^2 + b^2 \]

Раскроем квадрат:

\[ \frac{25}{9}b^2 = a^2 + b^2 \]

Выразим \(b^2\) через \(a^2\):

\[ \frac{16}{9}b^2 = a^2 \]

Теперь найдем \(b\):

\[ b^2 = \frac{9}{16}a^2 \]

\[ b = \frac{3}{4}a \]

Теперь у нас есть значения \(a\) и \(b\), и мы можем найти \(c\):

\[ c = \frac{5}{3}b = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{4}a = \frac{5}{4}a \]

Теперь у нас есть все стороны треугольника. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 12 квадратным единицам.