Question

Известно, что ABCD - параллелограмм, BD = 2, угол ACB равен 45о. Прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найдите площадь параллелограмма ABCD

Answer 1

.....................

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства параллелограмма и окружности, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD.

Свойства параллелограмма ABCD

- Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. - Противоположные углы параллелограмма равны.

Свойства окружности, описанной около треугольника ABD

- Прямая, проведенная из центра окружности к точке касания, является перпендикуляром к касательной. - Угол между касательной и хордой, исходящей из точки касания, равен углу, образованному хордой и дугой окружности.

Решение

Нам дано, что BD = 2 и угол ACB равен 45 градусов. Мы должны найти площадь параллелограмма ABCD.

Шаг 1: Найдем угол ADB. Поскольку ABCD - параллелограмм, угол ADB будет равен углу ACB, то есть 45 градусов.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABD. Прямая CD касается описанной около треугольника ABD окружности. В соответствии с свойствами окружности, угол между CD и хордой AD будет равен углу ADB, то есть 45 градусов.

Шаг 3: Из угла между касательной CD и хордой AD можно заключить, что треугольник ACD является прямоугольным треугольником с прямым углом при точке D.

Шаг 4: Так как треугольник ACD - прямоугольный треугольник, мы можем использовать его стороны, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD. Мы знаем, что BD = 2, поэтому AD = BD = 2.

Шаг 5: Найдем AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ACD. AC^2 = AD^2 + CD^2. Поскольку AD = 2 и угол ADB равен 45 градусов, то CD = AD * sqrt(2) = 2 * sqrt(2).

Шаг 6: По теореме Пифагора: AC^2 = 2^2 + (2 * sqrt(2))^2 = 4 + 8 = 12. Таким образом, AC = sqrt(12) = 2 * sqrt(3).

Шаг 7: Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его базы и высоты, то есть AB * AC = 2 * 2 * sqrt(3) = 4 * sqrt(3).

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 4 * sqrt(3).