Question

Вершины треугольника находятся в центрах попарно касающихся трёх окружностей с радиусами 5 см, 6 см и 10 см. Найдите периметр этого треугольника.​

Answer 1

Ответ:

42 см

Объяснение:

Треугольник описанный вокруг трех попарно касающихся окружностей, называется треугольником Морлея. Длины сторон этого треугольника равны суммам радиусов попарно касающихся окружностей. Таким образом, длины сторон треугольника будут равны:

5см+6см=11 см

5см+10см=15 см

6см+10см=16 см

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон то есть 11+15+16=42 см

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим треугольник, вершины которого касаются трех окружностей с радиусами 5 см, 6 см и 10 см. Обозначим эти вершины через \(A\), \(B\) и \(C\), а радиусы соответствующих окружностей через \(r_1 = 5\) см, \(r_2 = 6\) см и \(r_3 = 10\) см.

Так как вершины треугольника касаются окружностей, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с центрами окружностей, будут радиусами окружностей. Также, эти отрезки будут являться биссектрисами углов треугольника.

Полу-периметр треугольника можно найти, используя формулу для радиуса вписанной окружности треугольника:

\[r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}},\]

где \(p\) - полупериметр, а \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника.

Поскольку биссектрисы треугольника равны радиусам вписанных окружностей, то

\[r_1 = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)(p-a)}{p}},\] \[r_2 = \sqrt{\frac{(p-a)(p-c)(p-b)}{p}},\] \[r_3 = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}.\]

Теперь мы можем использовать эти равенства, чтобы найти значения сторон треугольника.

Решая уравнения относительно \(p-a\), \(p-b\) и \(p-c\), получим:

\[p-a = \frac{r_3^2}{r_1^2} \cdot (p-c),\] \[p-b = \frac{r_2^2}{r_1^2} \cdot (p-c),\] \[p-c = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot (p-a).\]

Подставим выражения для \(p-a\) и \(p-c\) в последнее уравнение:

\[\frac{r_2^2}{r_1^2} \cdot (p-c) = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \left(\frac{r_3^2}{r_1^2} \cdot (p-c)\right).\]

После упрощения, получим:

\[\frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_3^2}{r_1^2}.\]

Отсюда следует, что \(r_2 = r_3\), что противоречит изначальному условию (радиусы разные). Таким образом, треугольник с заданными условиями не существует, и задача имеет ошибку или опечатку.