Question

Известны координаты вершин треугольника ABC: A (-2; 4), B (0; 2), C (3; 8). Найдите косинусы углов треугольника

Answer 1

Ответ: во вложении.

Объяснение:

Сначала находим длины сторон треугольника по заданным координатам вершин.

Далее по теореме косинусов находим ответ.

Answer 2

Для нахождения косинусов углов треугольника ABC, нам понадобится знание длин его сторон. Длины сторон треугольника ABC можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости.

Формула расстояния между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) в координатной плоскости:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

1. Найдем длины сторон треугольника ABC:

Сторона AB: dAB = √((0 - (-2))² + (2 - 4)²) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2

Сторона BC: dBC = √((3 - 0)² + (8 - 2)²) = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5

Сторона CA: dCA = √((-2 - 3)² + (4 - 8)²) = √((-5)² + (-4)²) = √(25 + 16) = √41

2. Теперь, зная длины сторон треугольника ABC, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения косинусов углов.

Теорема косинусов:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac) cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

где a, b, c - длины сторон треугольника, соответствующие углам A, B, C.

3. Найдем косинусы углов треугольника ABC:

cos(A) = (2√2)² + (3√5)² - (√41)² / (2 * (2√2) * (3√5)) = 8 + 45 - 41 / (2 * 2√2 * 3√5) = 12 / (4√2√5) = 12 / (4 * √(2 * 5)) = 12 / (4 * √10) = 12 / (4√10) = 3 / √10

cos(B) = (√41)² + (3√5)² - (2√2)² / (2 * (√41) * (3√5)) = 41 + 45 - 8 / (2√41 * 3√5) = 78 / (6√205) = 13 / √205

cos(C) = (2√2)² + (√41)² - (3√5)² / (2 * (2√2) * (√41)) = 8 + 41 - 45 / (4√2 * √41) = 4 / (4√2√41) = 1 / √82

Таким образом, косинусы углов треугольника ABC равны:

cos(A) = 3 / √10 cos(B) = 13 / √205 cos(C) = 1 / √82