Question

Биссектрисы углов А и В выпуклого четырехугольника АВСД пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и Д - в точке N. Известно, что MN перпендикулярна AB. Докажите, что углы А и В равны.

Answer 1

1) AD не параллельна BC, они пересекаются в точке E.

M - точка пересечения биссектрис внешних углов △AEB =>

M лежит на биссектрисе ∠E.

N - точка пересечения биссектрис △CDE =>

N лежит на биссектрисе ∠E.

Если MN перпендикулярна AB, то в △AEB совпадают биссектриса и высота.

Тогда △AEB - равнобедренный, углы при основании равны.

Углы A и B четырехугольника равны как смежные с равными.

2) AD параллельна BC, трапеция.

Биссектрисы внутренних углов при параллельных пересекаются под прямым углом.

Пусть E - середина AB.

ME - медиана из прямого угла, ME=AB/2

△BEM - равнобедренный, ∠EMB=∠EBM=∠CBM

ME||BC (по накрест лежащим) => M лежит на средней линии трапеции.

Аналогично N.

Если средняя линия перпендикулярна боковой стороне, то трапеция прямоугольная, ∠A=∠B=90.

Answer 2

Для доказательства того, что углы A и B равны, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим угол A как α и угол B как β.

2. Известно, что биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М, а MN перпендикулярна AB. Это означает, что угол AMN равен углу BMN, так как они являются вертикальными углами.

3. Также известно, что биссектрисы углов С и D пересекаются в точке N. По аналогии с предыдущим шагом, угол CNM равен углу DNM.

4. Теперь рассмотрим треугольник AMN и треугольник BNM. Углы AMN и BMN равны между собой (по шагу 2), а углы CNM и DNM равны между собой (по шагу 3). Кроме того, MN является общей стороной для обоих треугольников.

5. Из свойства треугольников, имеем следующее: если два треугольника имеют равные углы и общую сторону между ними, то эти треугольники подобны.

6. Следовательно, треугольники AMN и BNM подобны. Из подобия треугольников мы можем сделать вывод, что отношение длин сторон AM и BN равно отношению длин сторон MN и MN, что эквивалентно отношению AM к BN.

7. Поскольку у треугольников AMN и BNM соответствующие углы равны, то их стороны AM и BN пропорциональны. То есть, AM/BN = MN/MN, и так как MN/MN равно 1, то AM/BN = 1.

8. Это означает, что AM равна BN. Так как AM и BN - это две половины стороны AB, то AB делится точкой M пополам.

9. Из пункта 8 следует, что угол α равен углу β, так как AM и BN противолежащие углы при пересечении параллельных линий.

Таким образом, мы доказали, что углы A и B равны.