Question

Помогите пожалуйста по геометрии. 1. Дано точки А ( 2; 1), В ( 3; 2), С ( 3;1). Найдите внутренний угол С треугольника АВС. 2. Найдите площадь четырехугольника АВСD, если А ( 0; 1), В ( 1 ; 3), С (2 ; 1), D ( 1; -1). 3. Найдите угол А треугольника АВС, если А ( 0; 1), В ( √3; 2), С ( √3; 1).

Answer 1

1. CosC = CA*CB/(|CA|*|CB|).  Вектор СА{2-3;1-1} ={-1;0} |CA|=√(1+0) =1.

Вектор СB{3-3;2-1} ={0;1} |CB|=√(0+1) =1.

CosC = (Xca*Xcb+Yca*Ycb)/(|CA|*|CB|) = 0.  => <C=arccos0 = 90°

Ответ: <C = 90°

2. Sabcd = (1/2)*AC*BD*Sin(AC^BD). Найдем АС, BD и Sinα.

|AC| = √((Xc-Xa)² +(Yc-Ya)² ) = √((2-0)² +(1-1)² ) =2.

|BD| = √((Xd-Xb)² +(Yd-Yb)² ) = √((1-1)² +(-1-3)² ) =√17.

Cosα = (0+0)/(2√17) =0.  => Sinα =1.

Ответ: Sabcd=(1/2)*2*√17 = √17 ед².

3. CosА = AВ*АC/(|AВ|*|АC|).  Вектор АВ{√3-0;2-1} ={√3;1} |CA|=√(3+1) =2.

Вектор АС{√3-0;1-1} ={√3;0} |CB|=√(3+0) =√3.

CosC = (Xab*Xac+Yab*Yac)/2√3 =  (√3*√3+1*0)/2√3 = 3/2√3 = √3/2.  => <C=arccos(√3/2) = 45°

Ответ: <A = 45°.

Answer 2

1. Найдите внутренний угол С треугольника АВС:

Для нахождения внутреннего угла С треугольника АВС, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами.

Вектор AB можно найти как разницу между координатами точек A и B:

AB = (3 - 2, 2 - 1) = (1, 1)

Аналогично, вектор AC можно найти как разницу между координатами точек A и C:

AC = (3 - 2, 1 - 1) = (1, 0)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где θ - искомый угол, AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.

AB · AC = 1 * 1 + 1 * 0 = 1

|AB| = √(1^2 + 1^2) = √2

|AC| = √(1^2 + 0^2) = 1

cos(θ) = 1 / (√2 * 1) = 1 / √2 = √2 / 2

Находим значение угла θ, используя обратную функцию косинуса:

θ = arccos(√2 / 2) ≈ 45°

Таким образом, внутренний угол С треугольника АВС равен приблизительно 45°.

2. Найдите площадь четырехугольника АВСD:

Для нахождения площади четырехугольника АВСD, мы можем разделить его на два треугольника и найти их площади. Затем мы можем сложить эти две площади, чтобы получить общую площадь четырехугольника.

Первый треугольник АВС можно найти с использованием формулы для нахождения площади треугольника по координатам:

S1 = 1/2 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

Подставляя значения координат A (0, 1), B (1, 3) и C (2, 1) в формулу, получим:

S1 = 1/2 * |(0(3 - 1) + 1(1 - 1) + 2(1 - 3))| = 1/2 * |(-2)| = 1

Второй треугольник СDА можно найти аналогичным образом, используя координаты C (2, 1), D (1, -1) и A (0, 1):

S2 = 1/2 * |(2(-1 - 1) + 1(1 - 1) + 0(1 - -1))| = 1/2 * |(-4)| = 2

Теперь мы можем сложить площади двух треугольников, чтобы получить общую площадь четырехугольника:

S = S1 + S2 = 1 + 2 = 3

Таким образом, площадь четырехугольника АВСD равна 3.

3. Найдите угол А треугольника АВС:

Для нахождения угла А треугольника АВС, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами.

Вектор AB можно найти как разницу между координатами точек A и B:

AB = (√3 - 0, 2 - 1) = (√3, 1)

Аналогично, вектор AC можно найти как разницу между координатами точек A и C:

AC = (√3 - 0, 1 - 1) = (√3, 0)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где θ - искомый угол, AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.

AB · AC = (√3 * √3) + (1 * 0) = 3

|AB| = √(√3^2 + 1^2) = √(3 + 1) = 2

|AC| = √(√3^2 + 0^2) = √3

cos(θ) = 3 / (2 * √3) = 3 / (2√3) = √3 / 2

Находим значение угла θ, используя обратную функцию косинуса:

θ = arccos(√3 / 2) ≈ 30°

Таким образом, угол А треугольника АВС равен приблизительно 30°.