Question

Дано вектори а (2: -4) і b(1; k). При якому значенні k вектори a і b 1)колінеарні;2)перпендикулярні?​

Answer 1

Ответ:

колінеарні вектори паралельні одній прямій

$\frac{ x1}{x2} = \frac{y1}{y2}$

$\frac{2}{1} = \frac{ - 4}{k}$

$k = \frac{ - 4 \times 1}{2} = - 2$

перпендикулярні вектори тоді коли їх скалярний добуток дорівнює нулю

2×1+(-4)×k=0

-4k=-2

k=2

Answer 2

Для того чтобы понять, при каком значении \(k\) векторы \(a\) и \(b\) будут коллинеарными или перпендикулярными, нам нужно учесть два важных аспекта: 1. Коллинеарность векторов: Векторы \(a\) и \(b\) называются коллинеарными, если они параллельны или лежат на одной прямой. Это означает, что один вектор можно получить из другого умножением на некоторое число (в данном случае \(k\)). 2. Перпендикулярность векторов: Векторы \(a\) и \(b\) называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\), что означает, что их скалярное произведение равно нулю. Давайте рассмотрим векторы \(a = (2, -4)\) и \(b = (1, k)\). 1. Коллинеарность: Для того чтобы векторы \(a\) и \(b\) были коллинеарными, один из них должен быть кратен другому. Это означает, что они должны быть параллельными или сонаправленными. Мы можем записать это условие в виде: \[ b = ka \] Для наших векторов это будет: \[ (1, k) = k \cdot (2, -4) \] Это приводит к системе уравнений: \[ \begin{cases} 1 = 2k \\ k = -\frac{1}{2} \end{cases} \] Если \(k = -\frac{1}{2}\), то векторы \(a\) и \(b\) коллинеарны. 2. Перпендикулярность: Для того чтобы векторы \(a\) и \(b\) были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю: \[ a \cdot b = 2 \cdot 1 + (-4) \cdot k = 0 \] Это приводит к уравнению: \[ 2 - 4k = 0 \] Решая это уравнение, мы получаем: \[ k = \frac{1}{2} \] Таким образом, при \(k = \frac{1}{2}\), векторы \(a\) и \(b\) будут перпендикулярными. Итак, чтобы векторы \(a\) и \(b\) были: 1) Коллинеарными, \(k = -\frac{1}{2}\). 2) Перпендикулярными, \(k = \frac{1}{2}\).