Question

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки 2А см и 3А см начиная от основания. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Ответ:

Треугольник АВС, точки Д, Е и К - точки касания окружности со сторонами треугольника АВ, ВС и АС.

АД=2а, ВД=3а

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

АД=АК=2а

ВД=ВЕ=3а

Т.к. треугольник равнобедренный СЕ=СК=АК=2а

Получилось АВ=ВС=2а+3а=5а

АС=2а+2а=4а

Периметр Р=2*5а+4а=14а

Объяснение:

Answer 2

Дано: в равнобедренный треугольник вписана окружность, точка касания делит боковую сторону на отрезки 2А см и 3А см начиная от основания. Пусть A - вершина треугольника, B и C - основания равных боковых сторон, D - точка касания окружности и боковой стороны. Поскольку точка касания делит боковую сторону на отрезки 2А см и 3А см, то BD = 2A см, а DC = 3A см. Так как треугольник является равнобедренным, стороны AB и AC равны. Очевидно, что отрезок CD является высотой, опущенной из вершины A на основание BC. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом в точке D. Пусть r - радиус окружности, то есть расстояние от центра окружности до боковой стороны. Так как отрезок CD является высотой, то его площадь равна S_CD = 1/2 * CD * AB = 1/2 * 3A * AB = 3/2 * A * AB. С другой стороны, площадь треугольника ABC можно выразить через радиус окружности r и основание BC: S_ABC = 1/2 * BC * r = 1/2 * (BD + DC) * r = 1/2 * (2A + 3A) * r = 5/2 * A * r. Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, высота CD является биссектрисой угла при вершине A. Из свойств равнобедренных треугольников известно, что CD делит основание BC на отрезки в отношении A : A, то есть BD/CD = BC/CD = AB/AC = A/A. Следовательно, BD = CD, что означает, что площадь S_CD = S_ABC. Сравнивая два выражения для площади S_CD и S_ABC, получаем: 3/2 * A * AB = 5/2 * A * r. Сокращая на 1/2 * A, получаем: 3 * AB = 5 * r. Зная, что AB = 2A + 3A = 5A, получаем: 3 * 5A = 5 * r, откуда r = 3A. Таким образом, радиус окружности равен 3A см. Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон. Известно, что сторона AB = AC = 5A см, а сторона BC равна сумме длин отрезков BD и DC: BC = BD + DC = 2A + 3A = 5A. Таким образом, периметр треугольника ABC равен: AB + BC + AC = 5A + 5A + 5A = 15A. Окончательно, периметр треугольника равен 15A см.