Question

AB and CD are chords in a circle. Chord CD passes through the midpoint M of the chord AB. Given that AB = 12, CD = 13, and CM < DM. Find CM.

Answer 1

Ответ:

CM=4

Объяснение:

AM=MB, M- midpoint of the chord AB.

АМ=АВ/2=12/2=6

АМ=МВ=6

CM=x; MD=(13-x)

Intersecting chords theorem:

If two chords intersect in the circle, then the products of the measures of the segment of the chords are iqual:

CM*MD=AM*MB

х(13-х)=6*6

13х-х²=36

13х-х²-36=0. |×(-1)

х²-13х+36=0

х=(-b±√(b²-4ac))/2a;

x=(13±√(13²-4*36))/2=

=(13±√(169-144))/2=(13±√25)/2;

x1=(13+5)/2=18/2=9

x2=(13-5)/2=8/2=4

CM<DM; 4<9

CM=4; DM=9

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему о пересекающихся cord, которая гласит, что если две cord пересекаются внутри круга, то отношения длин соответствующих отрезков в двух треугольниках, образованных пересечением cord и радиусов, равны .

В данном случае, мы имеем два треугольника: один, образованный cord AB и его радиусом до точки M (который является серединой cord CD), и другой - cord CD и его радиусами до точек M и D.

В первом треугольнике, мы имеем два отрезка: длину cord AB (12) и длину радиуса до точки M (CM). Второй треугольник состоит из длин cord CD (13) и двух радиусов от точки M до точек D и C (DM и CM соответственно).

Согласно теореме о пересекающихся cord, отношения длин этих отрезков равны, то есть:

12 / CM = 13 / DM

Также известно, что CM < DM, так как cord CD проходит через точку M, которая находится ближе к центру круга, чем точка D .

Теперь, чтобы найти CM, мы можем изменить формулу, чтобы выразить CM через DM:

CM = 12 * DM / 13

Это уравнение можно решить, зная длину DM. Если DM известна, то можно подставить ее в уравнение и найти значение CM.