Question

Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см. Найти катеты треугольника.

Answer 1

В прямоугольном тр-ке гипотенуза равна диаметру описанной окружности. с=D=2R=10 см.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный тр-ник:
r=(a+b-c)/2 ⇒ a+b=2r+c=2·3+10=16 см.
b=16-a.
По т. Пифагора a²+b²=c²,
a²+(16-a)²=10²,
а²+256-32а+а²=100,
2а²-32а+156=0,
а²-16а+78=0.
Дискриминант D=b²-4ac=256-312=-56.
√D=√-56.
Вывод. Квадратное уравнение не имеет решения, значит невозможно построить прямоугольный треугольник с заданными параметрами вписанной и описанной окружности.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и окружностей, вписанных и описанных в него.

Сначала найдем длину гипотенузы треугольника, которая равна диаметру описанной окружности. По условию, радиус описанной окружности равен 5 см, следовательно диаметр равен 10 см.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину катетов треугольника. Пусть a и b - катеты, тогда по теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где c - гипотенуза. Подставляя известные значения, получаем:

a^2 + b^2 = 10^2, a^2 + b^2 = 100.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 3 см. Из свойств вписанной окружности следует, что точка касания окружности с катетом делит его на две отрезка, длины которых равны радиусу (3 см) и x (длине от точки касания до вершины треугольника). Таким образом, мы получаем систему уравнений:

a = 3 + x, b = 3 + x.

Теперь мы можем подставить выражения для a и b в уравнение Пифагора:

(3 + x)^2 + (3 + x)^2 = 100, 9 + 6x + x^2 + 9 + 6x + x^2 = 100, 2x^2 + 12x - 82 = 0.

Решив квадратное уравнение, мы найдем значения x, которые затем позволят нам найти длины катетов a и b.