Question

Точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону на отрезки разность которых равна 2см (больший отрезок прилегает к углу, противолежащему основанию) Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 28см. Решите задачу с помощью уравнения, объясните решение и запишите ответ.

Answer 1

Ответ:

Боковые стороны равны 10 см, основание равно 8 см.

Объяснение:

Дан равнобедренный  треугольник АВС с основанием АС. По условию точка касания делит боковые сторону  (они равны) на отрезки x и y, считая от вершины В.

Касательные к вписанной окружности , проведенные из одной вершины, равны. Следовательно, периметр треугольника равен:

Рabc = 2x +4y = 28 см. (1)  (уравнение)

x - y =2 (дано)  => y = x-2. Подставляем это значение в (1):

2x + 4x - 8 = 28  => x = 6 см.   y = 4 см.  =>

Боковые стороны равны x+y = 10 см, основание равно 2y = 8 см.

Answer 2

Обозначим стороны равнобедренного треугольника через $a$ (основание) и $b$ (боковая сторона). Пусть $r$ - радиус вписанной окружности.

Известно, что точка касания делит боковую сторону на два отрезка, разность которых равна 2 см. Таким образом, мы можем записать:

$b - (b - 2) = 2$

Упростим уравнение:

$b - b + 2 = 2$

$2 = 2$

Уравнение верно для любых $b$, и это объяснимо тем, что треугольник равнобедренный, и величина $b$ не влияет на разность длин отрезков.

Теперь, зная, что разность длин отрезков равна 2, мы можем записать:

$b - (b - 2) = 2$

Это уравнение приводится к виду:

$b - b + 2 = 2$

$2 = 2$

Как видим, уравнение верно для любого $b$, так как длина $b$ не влияет на разность длин отрезков.

Теперь рассмотрим треугольник с точки зрения периметра:

$P = a + 2b$

Мы знаем, что периметр равен 28 см:

$28 = a + 2b$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 2 = 2 \\ 28 = a + 2b \end{cases}$

Решим эту систему. Первое уравнение нам ничего не дает (оно всегда верно), поэтому сосредоточимся на втором:

$28 = a + 2b$

Выразим $a$ через $b$:

$a = 28 - 2b$

Теперь подставим это выражение в уравнение, которое мы рассмотрели выше:

$b - (b - 2) = 2$

Упростим:

$2 = 2$

Как уже отмечалось, это уравнение верно для любого $b$.

Таким образом, у нас есть бесконечно много решений для $b$, что объяснимо тем, что любая длина боковой стороны $b$ треугольника соответствует условиям задачи.

Если $b$ - длина боковой стороны, то $a = 28 - 2b$, и треугольник будет иметь стороны $a, b, b$.