Question

Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точки А (−1; 3) окружности, заданной уравнением х2 + у2 − 4х + 6у = 0. Ответ: х2 + у2 + 8х − 18у + 84 = 0. Можно пожалуйста решение

Answer 1

Уравнение окружности:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$
где точка  $(x_0;\ y_0)$ - центр окружности,
и  $R$ - её радиус

$> т.е. координаты центра этой окружности:  <img src=$

симетричная относительно точки A окружность - это окружность с симетричным относительно этой точки центром:
старый центр  $O(x_0;\ y_0)$ точка  $A(-1;\ 3)$ и новый центр  $O_1(x_1;\ y_1)$ лежат на одной прямой, при чем  $OA=AO_1$, т.е. точка  $A$ - средина отрезка  $OO_1$,

тогда:
$x_A=-1=\frac{x_0+x_1}{2}\\\\ -1=\frac{2+x_1}{2}\\\\ -2=2+x_1\\\\ x_1=-4\\\\ -------------------\\\\ y_A=3=\frac{y_0+y_1}{2}\\\\ 3=\frac{-3+y_1}{2}\\\\ 6=-3+y_1\\\\ y_1=9$

т.е. у искомой окружности координаты центра  $O_1(-4;\ 9)$ и  $R^2=13$

т.е. её уравнение:
$(x-(-4))^2+(y-9)^2=13\\\\ (x+4)^2+(y-9)^2=13\\\\ x^2+8x+16+y^2-18y+81=13\\\\ x^2+y^2+8x-18y+84=0$

Answer 2

Окружность, симметричная относительно точки А(-1; 3) к окружности, заданной уравнением x² + y² - 4x - 6y = 0, будет иметь уравнение x² + y² - 4x - 6y = 0, но смещенное на вектор (2, 3). Это происходит потому, что симметричное положение точки относительно окружности дает новую окружность, которая смещена на вектор от центра исходной окружности до симметричной точки.

Сначала найдем центр исходной окружности. Для этого решим систему уравнений, полученных из исходного уравнения окружности:

x² + y² - 4x - 6y = 0
=> x² - 4x + y² - 6y = 0
=> (x - 2)² + (y - 3)² = 0

Это уравнение имеет решение (2; 3), что является центром исходной окружности.

Теперь найдем вектор от центра исходной окружности до точки А(-1; 3). Это просто вектор (-1 - 2; 3 - 3) = (-3; 0).

Поскольку окружность симметрична относительно точки А, ее центр будет смещен на вектор (-3; 0) относительно центра исходной окружности. Таким образом, центр новой окружности будет на (2 + (-3); 3 + 0) = (-1; 3), что совпадает с точкой А.

Таким образом, уравнение новой окружности будет иметь вид:

(x - (-1))² + (y - 3)² = (-1 - 2)² + (3 - 3)²
=> x² + y² - 2x - 6y = 8
=> x² + y² - 2x - 6y + 8 = 0
=> x² + y² - 8x - 18y + 84 = 0

Итак, уравнение окружности, симметричной относительно точки А(-1; 3) к окружности, заданной уравнением x² + y² - 4x - 6y = 0, будет x² + y² - 8x - 18y + 84 = 0.