Question

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота AD. Найдите длину высоты AD, если известно, что BD=9 см, DC=16 см.

Answer 1

Решение на приложенном изображении.

Answer 2

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота AD. По условию известно, что BD=9 см и DC=16 см.

Для решения задачи воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, согласно которому высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника.

Используем отношение подобия треугольников ABC и ADB:

\(\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}\)

Так как AC = AD + DC, то:

\(\frac{AB}{BD} = \frac{AD + DC}{CD}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{AB}{9} = \frac{AD + 16}{16}\)

Теперь выразим AD:

\(AB = \sqrt{BD^2 + CD^2}\) (теорема Пифагора)

\(AB = \sqrt{9^2 + 16^2} = \sqrt{81 + 256} = \sqrt{337}\)

Теперь подставляем значение AB:

\(\frac{\sqrt{337}}{9} = \frac{AD + 16}{16}\)

Решаем уравнение относительно AD:

\(\sqrt{337} \cdot 16 = 9 \cdot (AD + 16)\)

\(16\sqrt{337} = 9AD + 144\)

\(9AD = 16\sqrt{337} - 144\)

\(AD = \frac{16\sqrt{337} - 144}{9}\)

Таким образом, длина высоты AD равна \(\frac{16\sqrt{337} - 144}{9}\) см.