Question

У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено бісектрису BM. Точка K лежить на відрізку AB. Визначте, чи є відрізок KM медіаною, бісектрисою або висотою трикутника AKC.

Answer 1

Биссектриса ВМ треугольника АВС, проведенная к основанию АС, является и медианой, и высотой. т.е. точка М- середина АС. И ВМ⊥АС.

Определенно могу  сказать, что этот отрезок КМ является медианой в треугольнике АКС, т.к. М- середина АС.

Если предположить, что КМ- высота, то угол АМС будет состоять из двух прямых углов и угла КМВ, т.е. быть больше 180°, но т.к. это развернутый угол, то такого быть не может.

Биссектрисой он тоже быть не может. т.к. тогда АК/КС=АМ/СМ, но тогда треугольник АКС получится равнобедренный и КМ будет высотой, а мы только что доказали, что такого быть не может.

Ответ отрезок КМ является медианой ΔАКС.

Answer 2

Щоб визначити, чи є відрізок $KM$ медіаною, бісектрисою чи висотою трикутника $AKC$, давайте розглянемо можливі варіанти:

1. Медіана: Якщо $KM$ є медіаною трикутника $AKC$, то точка $M$ повинна ділити сторону $AC$ пополам. Тобто, $AM = MC$.

2. Бісектриса: Якщо $KM$ є бісектрисою трикутника $AKC$, то він повинен розділяти кут $\angle AKC$ навпіл. Тобто, $\angle AKM = \angle MKC$.

3. Висота: Якщо $KM$ є висотою трикутника $AKC$, то він повинен бути перпендикулярний до основи $AC$. Тобто, $\angle AKM = 90^\circ$.

Ми можемо використати ці умови для визначення характеристики відрізка $KM$, знаючи, що $ABC$ - рівнобедрений трикутник:

1. З рівність відома, оскільки $ABC$ - рівнобедрений трикутник, $AM = MC$.

2. З рівність відома також через властивість бісектриси, оскільки $\angle AKM = \angle MKC$.

3. Ми можемо також використати властивість прямокутних трикутників: якщо $\angle AKM = 90^\circ$, то $KM$ - висота.

Отже, відповідно до властивостей, вказаних вище, відрізок $KM$ може бути як медіаною, так і бісектрисою трикутника $AKC$. Це можливо через рівності $AM = MC$ та $\angle AKM = \angle MKC$. Якщо відрізок $KM$ перпендикулярний до основи $AC$, він також буде висотою трикутника $AKC$.