Question

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=15.

Answer 1

Вписанный угол РВК=90°, значит опирается на диаметр. РК - диаметр=15.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему о перпендикулярных хордах окружности.

Теорема о перпендикулярных хордах окружности:

Если две хорды окружности пересекаются внутри окружности и образуют перпендикуляр к общему радиусу, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

В данной задаче диаметр BH является высотой прямоугольного треугольника ABC, а окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно.

По условию задачи, BH = 15. Нам нужно найти PK.

Поскольку точка H является основанием высоты, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника ABC.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Поскольку AB = BH = 15 (так как BH является высотой), у нас есть:

AC^2 = 15^2 + BC^2

Теперь давайте рассмотрим треугольник BPK. Мы знаем, что хорда PK перпендикулярна радиусу BH, поэтому мы можем использовать теорему о перпендикулярных хордах окружности.

Применим теорему о перпендикулярных хордах окружности к хорде PK и хорде BH:

PK * KH = BK * HK

Мы знаем, что KH = BH = 15 и BK = BC - CK.

Таким образом, мы получаем:

PK * 15 = (BC - CK) * 15

Упрощая выражение, мы получаем:

PK = BC - CK

Теперь, чтобы найти PK, нам нужно найти значения BC и CK.

Мы можем использовать теорему Пифагора снова, чтобы найти BC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

15^2 + BC^2 = AC^2

Теперь нам нужно найти значение CK. Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника BCK:

CK^2 = BC^2 + BK^2

Таким образом, CK^2 = BC^2 + (BC - CK)^2

Решив эти уравнения, мы сможем найти значения BC и CK, а затем, используя формулу PK = BC - CK, мы сможем найти PK.