Question

Докажите равенство отрезков, соединяющих середину основания равнобедренного треугольника с серединами боковых сторон.

Answer 1

По первому признаку равенства треугольников (равенство двух сторон и углов между ними), образованные два треугольника при боковых сторонах исходного треугольника, будут равны, значит и
 их третьи стороны (отрезки, соединяющие середины основания и середины боковых сторон) тоже равны.

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков, соединяющих середину основания равнобедренного треугольника с серединами боковых сторон, мы можем использовать свойство серединного перпендикуляра.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть M - середина основания BC, N - середина стороны AB, и K - середина стороны AC.

Теперь докажем, что отрезок MN равен отрезку MK.

Сначала заметим, что треугольник AMN и треугольник AKM подобны по двум углам, так как угол AMN равен углу AKM (они оба прямые, так как MN и MK - серединные перпендикуляры), и угол MNA равен углу MAK (они оба равны, так как треугольник ABC равнобедренный).

Теперь поскольку треугольники AMN и AKM подобны, отношение их сторон равно отношению их высот. То есть MN/MK = AN/AK.

Но так как N и K - середины сторон AB и AC, то AN = NK и AK = KN, следовательно, AN/AK = 1.

Отсюда получаем, что MN/MK = 1, то есть MN = MK.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середину основания равнобедренного треугольника с серединой боковой стороны, равен половине основания треугольника.