Question

Один із кутів між діагоналями прямокутника дорівнює 120°, а діагональ-24см. Знайдіть меншу сторону прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Ето

Answer 2

Давайте позначимо меншу сторону прямокутника через $a$ і більшу сторону через $b$.

Знаючи, що один із кутів між діагоналями прямокутника дорівнює 120°, ми можемо скористатися косинусовим законом для трикутників. В прямокутнику, діагоналі є відомими, тому ми можемо скористатися наступною формулою:

$a^2 + b^2 = d^2$

де $d$ - довжина діагоналі, у нашому випадку $d = 24$ см.

Також, ми можемо скористатися кутом між діагоналями. Якщо один з кутів між діагоналями - 120°, то інший кут теж 120° (оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180°).

Тепер ми можемо скористатися косинусовим законом для трикутників для обчислення сторін $a$ і $b$ у прямокутнику. Косинус кута 120° дорівнює -0,5. Тому ми можемо записати наступне:

$a^2 = 24^2 + b^2 - 2 \times 24 \times b \times (-0,5)$

Ми також знаємо, що $a \times b = 24 \times b$. Замінюючи це у рівнянні вище, ми отримаємо:

$a^2 = 24^2 + 24b - 24b \times (-0,5)$ $a^2 = 576 + 24b + 12b$ $a^2 = 576 + 36b$

Тепер нам потрібно знайти вираз для $b$. Ми можемо скористатися синусом кута 120°. Синус 120° дорівнює $\sqrt{3} / 2$. Тому:

$\frac{b}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b = 12\sqrt{3} \, \text{см}$

Підставляючи це значення $b$ у вираз для $a^2$, ми отримаємо:

$a^2 = 576 + 36 \times 12\sqrt{3}$ $a^2 = 576 + 432\sqrt{3}$

Тепер $a$ можна обчислити як корінь з цього виразу:

$a = \sqrt{576 + 432\sqrt{3}}$

Це є точне значення меншої сторони прямокутника у сантиметрах. Якщо потрібно апроксимувати значення, то це можна зробити за допомогою калькулятора.