Question

В треугольнике ABC известно, что AB= BC, AC = 14. Из точки D, середины AB, проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 66. Найдите периметр треугольника AEC.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Первый способ:

Рассмотрим треугольник ABE. Заметим, что в нем ED - это и высота, и медиана (по условию - это перпендикуляр, проведенный к середине стороны AB). Тогда такой треугольник равнобедренный, т.е. $AE=BE$. Тогда искомый периметр равен $P=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC$. Задача свелась к нахождению боковой стороны треугольника ABC. Понятно, что $>. Значит искомый периметр <img src=$.

Приведу другой способ решения:

Понятно, что $>. Пусть <img src=$. Тогда $EC=26-x$. По теореме Пифагора: $DE^2=x^2-169$. Применим эту теорему еще раз: $AE^2=169+x^2-169=x^2$. Тогда $AE=x$. Найдем теперь периметр треугольника AEC: $P=x+26-x+14=40$.

Задача решена!

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть треугольник ABC, где AB = BC и AC = 14. Мы также знаем, что периметр этого треугольника равен 66. Для начала найдем длину сторон AB и BC.

Пусть AB = x, тогда BC = x (по условию задачи).

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

AB + BC + AC = 66.

x + x + 14 = 66.

2x + 14 = 66.

2x = 66 - 14.

2x = 52.

x = 26.

Теперь, когда мы знаем, что AB = BC = 26 и AC = 14, давайте найдем периметр треугольника AEC. Мы видим, что DE - это высота треугольника ABC, опущенная из вершины A.

Используем формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника ABC = 1/2 * AB * DE.

Площадь треугольника ABC также можно выразить через его стороны, используя формулу полусуммы периметров:

Площадь треугольника ABC = 1/2 * AC * (AB + BC).

Теперь подставим известные значения:

1/2 * 14 * (26 + 26) = 14 * 26 = 364.

Теперь мы можем выразить DE через площадь и сторону AB:

1/2 * 26 * DE = 364.

13 * DE = 364.

DE = 364 / 13.

DE = 28.

Теперь у нас есть длина DE (высоты треугольника ABC), и мы можем найти периметр треугольника AEC, который равен сумме сторон AE, EC и AC.

Периметр треугольника AEC = AE + EC + AC.

Так как DE - это середина стороны AB, то AE = EC = 26 / 2 = 13.

Теперь мы можем найти периметр:

Периметр треугольника AEC = 13 + 13 + 14 = 40.

Ответ: Периметр треугольника AEC равен 40.