Question

Уровень С: окружность вписанная в треугольник АВС касается сторон в точках А1В1С1 соответственно. Найдите значение 1/2 (АВ+АС-ВС) ​

Answer 1

Ответ: 1/2(АВ+АС-ВС)= АС₁

Объяснение:

1) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.⇒

АС₁ = АВ₁ (по свойству касательных), тогда

АС1 +АВ1 =2 АС1

2) В то же время

АС₁ +АВ₁ =(АВ-ВС₁) +(АС-В₁С)= (АВ+АС) - (ВС₁+В₁С)

3) Но по свойству касательных ВС₁=ВА₁ и В₁С=А₁С , тогда

2АС₁ = АС₁ +АВ₁ =(АВ-ВС₁) +(АС-В₁С)= (АВ+АС) - (ВС₁+В₁С) =(АВ+АС) - (ВА₁+А₁С)= АВ+АС-ВС

4)2АС₁ = АВ+АС-ВС ⇒

1/2(АВ+АС-ВС)= АС₁

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами окружности, вписанной в треугольник.

1. Рассмотрим треугольник ABC и проведем линии из центра вписанной окружности к его вершинам. Пусть O - центр вписанной окружности, и точки касания окружности с сторонами треугольника обозначим как A1, B1 и C1.

2. Так как A1, B1 и C1 являются точками касания, то сегменты OA1, OB1 и OC1 равны радиусу окружности.

3. Теперь рассмотрим треугольники OAA1, OBB1 и OCC1. Они являются прямоугольными треугольниками, так как радиус окружности перпендикулярен к сторонам треугольника в точках касания.

4. Мы также знаем, что угол BAO и угол CAO равны половине угла BAC, так как они соответственно являются углами между касательными к окружности и сторонами треугольника.

5. Поэтому мы можем записать следующие соотношения:

   AO / OA1 = tan(BAO) AO / OA1 = tan(CAO)

   Аналогично, мы можем записать соотношения для других двух треугольников.

6. Теперь мы можем выразить длины OA1, OB1 и OC1 через радиус окружности и тангенсы половины углов BAC, BCA и ABC.

   OA1 = r / tan(BAO) OB1 = r / tan(CAO) OC1 = r / tan(ABC)

7. Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника через длины OA1, OB1 и OC1 и радиус окружности r.

   AB = AO1 + BO1 = r / tan(BAO) + r / tan(CAO) AC = AO1 + CO1 = r / tan(BAO) + r / tan(ABC) BC = BO1 + CO1 = r / tan(CAO) + r / tan(ABC)

8. Мы можем теперь выразить 1/2 (AB + AC - BC) следующим образом:

   1/2 (AB + AC - BC) = 1/2 [(r / tan(BAO) + r / tan(CAO)) + (r / tan(BAO) + r / tan(ABC)) - (r / tan(CAO) + r / tan(ABC))]

9. Сокращаем одинаковые слагаемые:

   1/2 (AB + AC - BC) = 1/2 [2r / tan(BAO) - 2r / tan(ABC)]

10. Факторизуем 2r:

1/2 (AB + AC - BC) = r * [1/tan(BAO) - 1/tan(ABC)]

11. Теперь, если вы знаете значения углов треугольника BAO и ABC, вы можете вычислить значение 1/2 (AB + AC - BC) с использованием вышеуказанной формулы.