Question

Около остроугольного треугольника АВС описана окруженость с центром О. Высоты АН и ВК треугольника пересекаются в точке М, = 105° . Найдите угол ABO.

Answer 1

Ответ: 15°

Вариант решения:

     В четырехугольнике КМНС  ∠К=∠Н=90° ( АН и ВК – высоты).  Сумма углов четырехугольника 360°.⇒ ∠С=360°-2•90°-105°=75°.

    Угол АСВ – вписанный, поэтому градусная мера дуги АВ, на которую он опирается, вдвое больше. ◡АВ=2•75°=150°

    Градусная мера центрального угла АОВ равна мере дуги АВ. ∠АОВ=150°.

   Треугольник АОВ равнобедренный ( ОА=ОВ – радиусы). ⇒

 Из суммы углов треугольника ∠АВО=∠ВАО=(180°-150°):2=15°.

Answer 2

Треугольник остроугольный => высоты пересекаются внутри треугольника.

Пусть угол BAK равен alfa, тогда из прямоугольного треугольника ABK: угол ABK = 90 - alfa

Пусть угол ABC равен beta, тогда из прямоугольного треугольника ABH: угол HAB = 90 - beta

Из рассмотрения треугольника ABM: сумма углов равна 180 градусов;

AMB + MAB + MBA = 180

105 + (90-alfa) + (90-beta) = 180

Отсюда alfa + beta = 105 (град)

Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов, тогда

угол ACB = 180 - (ABC+BAC) = 180 - (alfa+beta) = 180 - 105 = 75 (град)

Тогда угол AOB = 2 * ACB = 150 град (O — центр окружности; A, B, C лежат на ней)

Далее, треугольник ABO — равнобедренный (AO и BO — радиусы одной окружности) , поэтому углы при основании равны:

OAB = ABO = (1/2) * (180 - AOB) = (180-150)/2 = 15 (градусов) .

ОТВЕТ: угол ABO = 15 градусов.

Answer 3

Давайте рассмотрим остроугольный треугольник ABC и попробуем найти угол ABO.

1. Мы знаем, что высоты АН и ВК пересекаются в точке М.

2. Давайте обратим внимание на треугольники АОМ и ВОМ. Эти треугольники имеют общий катет МО и равные углы при вершине (угол МОА = угол МОВ, так как ОА = ОВ, так как оба радиуса окружности).

3. Теперь обратим внимание на треугольники АВО и МОВ. Они также имеют общий катет ОМ и равные углы при вершине (угол МОВ = угол ВОА, так как это вертикальные углы).

Итак, у нас есть два треугольника, АОМ и ВОМ, у которых равные углы при вершине и общий катет ОМ. Следовательно, эти треугольники равны по углам и сторонам по стороне-угол-стороне (УСУ).

Следовательно, угол ABO = угол VBO, так как треугольники АОМ и ВОМ равны.

Теперь мы знаем, что угол М равен 105°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол VBO равен 180° - 105° = 75°.

Итак, угол ABO равен 75°.