Question

У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до сторони АС у точці К. Виразити АК через периметр трикутника (Р), якщо сторона ВС = с.

Answer 1

Ответ:

АК = Р/2 - с

Объяснение:

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.

Поэтому периметр равен:
Р = а+ в +  в + е + е + а, но
в + е =с, тогда
Р = 2а +2с, откуда 2а = Р - 2с

а = Р/2 - с или

АК = а = р - с, где р - полупериметр.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться використовувати властивості вписаних кутів та кутів, утворених дотиком до кола.

Позначимо радіус кола як "r", довжину сторони AB як "a", довжину сторони BC як "c", а довжину сторони AC як "b". Також, позначимо довжину відрізка AK як "x".

Ми знаємо, що в точці дотику кола до сторони трикутника, кут між радіусом кола та стороною трикутника є прямим кутом. Тобто, ми маємо наступний правильний трикутник:

1. ΔAKC (прямокутний трикутник):

   • AK - катет
   • KC - радіус кола (r)

За теоремою Піфагора для цього прямокутного трикутника маємо:

AK^2 + KC^2 = AC^2

А також, знаючи, що радіус кола дорівнює півпериметру мінус сторони трикутника, що дотикається до кола:

KC = (P/2) - c

Замінимо KC у нашому рівнянні:

AK^2 + ((P/2) - c)^2 = AC^2

Тепер ми можемо знайти AK:

AK = √(AC^2 - ((P/2) - c)^2)

Але нам треба виразити AK через периметр трикутника P та сторону BC, яка дорівнює c. За теоремою Піфагора ми можемо знайти довжину AC через сторони трикутника:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Також, ми знаємо, що периметр трикутника P дорівнює сумі всіх його сторін:

P = AB + BC + AC

Знаючи це, можемо виразити AC через P та c:

AC = P - AB - BC = P - a - c

Тепер підставимо це значення в рівняння для AK:

AK = √(((P - a - c)^2) - ((P/2) - c)^2)

Отже, виразили AK через периметр трикутника P та сторону BC (c).