Question

* Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, а их длины равны 18 и 80. Найдите расстояние между серединами противоположных сторон этого четырёхугольника.

Answer 1

Диагонали четырехугольника перпендикулярны, а их длины равны 18 см и 80 см . Найдите расстояние между серединами противоположных сторон этого четырехугольника .

РЕШЕНИЕ.

1) К,Р,Т,М середины сторон соответственно АD,АВ,ВС,CD. Расстоянием между серединами будут длины отрезков КТ и МТ.

2)В ΔАВD, КР- средняя линия. По свойству средней линии КР=1/2*BD=1/2*18=9 ( cм).

Тк КР||BD , а BD⊥AC по условию, то КР⊥AC .

3)В ΔАСD, КМ- средняя линия. По свойству средней линии КМ=1/2*АС=1/2*80=40 ( cм).

Тк РТ||АС , а BD⊥AC по условию, то РТ⊥BD.

4) Т.к. АС ⊥BD, то КР⊥РТ. Уситывая , что противоположные стороны КРТМ параллельны , получаем , что КРТМ- прямоугольник.

По свойству диагоналей прямоугольника КТ=МР= х.

5) ΔМКР- прямоугольный , по т Пифагора МР²=КР²+КМ², МР=√(81+1600)=41.

Ответ .Расстояние между серединами сторон равно 41 см

Answer 2

Чтобы найти расстояние между серединами противоположных сторон четырёхугольника, вам понадобится использовать свойство перпендикулярных диагоналей и теорему о прямоугольных треугольниках.

Давайте обозначим четыре вершины четырёхугольника как A, B, C и D, где диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, и их длины известны: AC = 18 и BD = 80. Теперь, давайте обозначим середины сторон AB и CD как M и N соответственно.

Чтобы найти расстояние между серединами противоположных сторон (MN), мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AMN:

MN^2 = AM^2 + AN^2

Нам нужно найти AM и AN. Так как AM - это половина стороны AB, и AN - это половина стороны CD, то:

AM = AB / 2 AN = CD / 2

Теперь давайте найдем AB и CD, используя теорему Пифагора в треугольниках ABC и BCD:

AB^2 = AC^2 + BC^2 BCD^2 = BD^2 + CD^2

Мы знаем значения AC и BD, поэтому можем найти AB и CD:

AB^2 = 18^2 + BC^2 CD^2 = 80^2 + BD^2

Теперь мы можем найти AM и AN:

AM = AB / 2 AN = CD / 2

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем найти MN:

MN^2 = AM^2 + AN^2

Выполним расчеты:

MN^2 = (AB / 2)^2 + (CD / 2)^2

Теперь подставим значения AB и CD:

MN^2 = [(√(18^2 + BC^2)) / 2]^2 + [(√(80^2 + CD^2)) / 2]^2

MN^2 = [(√(18^2 + BC^2))^2 / 4] + [(√(80^2 + CD^2))^2 / 4]

MN^2 = [(18^2 + BC^2) / 4] + [(80^2 + CD^2) / 4]

Теперь мы можем подставить значения BC и CD:

MN^2 = [(18^2 + (AB^2 - 18^2)) / 4] + [(80^2 + (BD^2 - 80^2)) / 4]

MN^2 = [(18^2 + AB^2 - 18^2) / 4] + [(80^2 + BD^2 - 80^2) / 4]

Заметьте, что квадраты 18 и 80 сокращаются:

MN^2 = (AB^2 / 4) + (BD^2 / 4)

Теперь мы можем подставить значения AB и BD, которые мы рассчитали ранее:

MN^2 = [(√(18^2 + BC^2))^2 / 4] + [(√(80^2 + CD^2))^2 / 4] MN^2 = [(√(18^2 + (AB^2 - 18^2)))^2 / 4] + [(√(80^2 + (BD^2 - 80^2)))^2 / 4] MN^2 = [(AB^2 / 4) + (BD^2 / 4)]

Теперь мы можем подставить значения AB и BD:

MN^2 = [(√(18^2 + BC^2))^2 / 4] + [(√(80^2 + CD^2))^2 / 4] MN^2 = [(√(18^2 + (AB^2 - 18^2)))^2 / 4] + [(√(80^2 + (BD^2 - 80^2)))^2 / 4] MN^2 = [(AB^2 / 4) + (BD^2 / 4)]

Теперь мы можем подставить значения AB и BD:

MN^2 = [(18^2 / 4) + (80^2 / 4)]

Продолжим упрощение:

MN^2 = (324/4) + (6400/4)

MN^2 = 81 + 1600

MN^2 = 1681

Теперь найдем квадратный корень из MN^2, чтобы получить фактическое расстояние:

MN = √1681

MN = 41

Итак, расстояние между серединами противоположных сторон этого четырёхугольника равно 41.