Question

Дан треугольник со сторонами AB=5 BC=7 AC=8. Из вершины B опущены перпендикуляры BM и BN на биссектрисы внешних углов при вершинах A и C (биссектрисы лежат в той же полу- плоскости, что и вершина B). Найти длину отрезка MN.

Answer 1

Если продолжить перпендикуляры из вершины В до пересечения с продолжениями стороны АС в точках Р и Е, то получим:
РА = АВ, СЕ = СВ.
Отрезок МN = это средняя линия треугольника РВЕ,
Отрезок РЕ = 5+8+7 = 20,
МN = 20/2 = 10.

Answer 2

Для решения этой задачи сначала найдем биссектрисы внешних углов при вершинах A и C. Затем используем их для определения длины отрезка MN.

1. Найдем полупериметр треугольника ABC: Полупериметр (s) = (AB + BC + AC) / 2 = (5 + 7 + 8) / 2 = 10.

2. Теперь найдем радиус вписанной окружности (r) с использованием формулы для площади треугольника через полупериметр: Площадь (S) = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)]. S = √[10(10 - 5)(10 - 7)(10 - 8)] = √[10 * 5 * 3 * 2] = √300 = 10√3.

   Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности: r = S / s = (10√3) / 10 = √3.

3. Так как BN и BM - биссектрисы внешних углов при вершинах A и C, то они делят углы при вершинах A и C на три равные части. Таким образом, углы MBC и NBC равны между собой и равны углу BAC.

4. Теперь мы можем найти угол BAC, используя закон косинусов в треугольнике ABC: cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = (5^2 + 8^2 - 7^2) / (2 * 5 * 8) = (25 + 64 - 49) / 80 = 40 / 80 = 1/2. Значит, cos(BAC) = 1/2.

   Так как угол BAC находится в первой четверти, то cos(BAC) > 0, и мы можем взять положительный арккосинус: BAC = arccos(1/2) = π/3.

5. Теперь рассмотрим треугольник MBN. Этот треугольник прямоугольный с углом B равным BAC/3 = (π/3)/3 = π/9. Также мы знаем, что BN = BM = r (радиус вписанной окружности).

6. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины отрезка MN: MN = 2 * BN * sin(B) = 2 * r * sin(π/9) = 2 * √3 * sin(π/9).

Теперь вычислим значение sin(π/9) и найдем длину отрезка MN:

sin(π/9) = sin(20°). Мы знаем, что sin(30°) = 1/2, поэтому sin(20°) можно найти с использованием половинного угла: sin(20°) = 2 * sin(10°) * cos(10°).

Теперь найдем значения sin(10°) и cos(10°). Значения этих тригонометрических функций можно найти в таблице или с помощью калькулятора.

sin(10°) ≈ 0.1736 cos(10°) ≈ 0.9848

Теперь можем найти sin(20°):

sin(20°) ≈ 2 * 0.1736 * 0.9848 ≈ 0.3429.

Теперь вычислим длину отрезка MN:

MN ≈ 2 * √3 * 0.3429 ≈ 1.1852.

Итак, длина отрезка MN приближенно равна 1.1852.