Question

В окружность вписан правильный треугольник и вокруг этой окружности описан правильный треугольник найдите отношение периметров и площадей этих треугольников

Answer 1

Обозначим:
а - сторона описанного треугольника,
Ра - его периметр,
Sа - его площадь.

b - сторона вписанного треугольника,
Pb - его периметр,
Sb - его площадь.

R - радиус их общей окружности.

Для описанного треугольника:
R = a√3 / 6, ⇒
a = 6R / √3 = 6R√3 / 3 = 2R√3
Pa = 3a = 3 ·2R√3 = 6R√3
Sa = a²√3/4 = 4R²·3·√3 / 4 = 3R²√3

Для вписанного треугольника:
R = b√3/3, ⇒
b = 3R / √3 = R√3
Pb = 3b = 3R√3
Sb = b²√3/4 = 3R²√3/4

Pa : Pb = 6R√3 : (3R√3) = 2 : 1

Sa : Sb = 3R²√3 : (3R²√3/4) = 4 : 1