Question

через точку М вне окружности проведены касательная Ma и MB , и через точку C на окружности проведена касательная,пересекающая отрезки MA и MB в точках K и L соответственно (рис19.12).Докажите что периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C

Answer 1

Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL
По условию KL  = KC + LC 
Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны.
Тогда 
KC = KA
LC = LB
Следовательно KL  = KC + LC  = KA + LB 
Подставим это в первое равенство
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL =
= MK + ML +  KA + LB = 
= MK +  KA + ML  + LB 
Очевидно что
MK +  KA = MA 
ML  + LB = MB 
Тогда
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB 
Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С
Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С
что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C, нужно показать, что длины отрезков KM и LM не зависят от положения C на окружности.

Рассмотрим ситуацию, когда точка C движется по окружности. В этом случае, по свойству касательной к окружности, угол MCA всегда будет прямым углом. Заметим, что угол MCA также равен углу MBA, так как это два вертикальных угла (вертикальные углы равны). Таким образом, мы можем записать:

∠MCA = ∠MBA

Теперь рассмотрим треугольники MCA и MKL:

1. В треугольнике MCA: У нас есть два угла, ∠MCA и ∠AMC, равные 90 градусам, и угол ∠MAC, равный углу MCA = MBA.

2. В треугольнике MKL: Угол ∠MKA также равен ∠MBA, так как это углы между касательной и хордой, проведенной из внешней точки к окружности. Угол ∠MLK также равен ∠MAC, так как это вертикальные углы.

Теперь, если рассмотреть эти два треугольника, они имеют:

1. Общую сторону MA.
2. Равные углы ∠MAC и ∠MKA.
3. Равные углы ∠MCA и ∠MLK.

По теореме об угловой стороне, эти треугольники подобны. Таким образом, отношение длин сторон в этих треугольниках будет одинаковое:

MK / MA = ML / MC

Теперь, поскольку длина стороны MK не зависит от положения точки C на окружности (потому что треугольники подобны), то и длина стороны ML тоже не зависит от положения точки C.

Теперь рассмотрим треугольник KLM. Его периметр равен:

Периметр KLM = KM + ML + LK

Мы уже знаем, что MK и ML не зависят от положения точки C, поэтому периметр KLM не зависит от положения точки C. Это верно для любой точки C на окружности, так как мы использовали свойства подобных треугольников, которые верны для всех положений C.