Question

Из точки М на основании АВ треугольника АВС проведены прямые параллельно двум другим сторонам. Площадь отсекаемого ими параллелограмма равна 5/18 площади треугольника. Найти отношение, в котором точка М делит прямую АВ (АМ/МВ)

Answer 1

AM=x, BM=y

S(AMN)+S(MBK) = (1 -5/18) S(ABC) =13/18 S(ABC)

Параллельные прямые отсекают от угла подобные треугольники.

△AMN~△ABC, △MBK~△ABC

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

S(AMN)/S(ABC)= (x/(x+y))^2

S(MBK)/S(ABC)= (y/(x+y))^2

(x^2+y^2)/(x+y)^2 =13/18 <=>

18(x^2+y^2) = 13(x^2+y^2) +26xy <=>

x^2 -5,2xy +y^2 =0 <=> | ÷y^2

t=x/y: t^2 -5,2t +1 =0 <=> t₁,₂= 2,6±√(6,76-1) =2,6±2,4 <=> t₁=5; t₂=1/5

Ответ: M делит AB в отношении 1:5

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим некоторые величины и введем дополнительные обозначения.

Пусть:

1. S - площадь треугольника ABC.
2. S_параллелограмма - площадь параллелограмма, отсекаемого прямыми, проведенными из точки М.

Мы знаем, что площадь параллелограмма равна 5/18 площади треугольника, то есть:

S_параллелограмма = (5/18) * S

Далее, обозначим точку пересечения прямых, проведенных из точки М, с боковыми сторонами треугольника ABC. Пусть N - точка пересечения с BC, и P - точка пересечения с AC.

Теперь рассмотрим параллелограмм MPNB. Мы знаем, что его площадь равна S_параллелограмма, то есть:

S_параллелограмма = S(MPNB)

Однако у треугольника ABC и параллелограмма MPNB есть общая высота (расстояние от стороны АВ до прямой MN). Из подобия треугольников АВС и МPN следует, что отношение их площадей равно отношению квадратов соответствующих сторон.

То есть, мы имеем:

S(MPNB) / S = (AM / AB)^2

Теперь можем выразить отношение AM/AB:

AM / AB = √(S(MPNB) / S)

Подставим в это выражение значение S(MPNB):

AM / AB = √(S_параллелограмма / S)

AM / AB = √((5/18) * S / S)

AM / AB = √(5/18)

AM / AB = √(5) / √(18)

Теперь упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на √(2):

AM / AB = (√(5) / √(18)) * (√(2) / √(2))

AM / AB = (√(10) / √(36))

AM / AB = (√(10) / 6)

Таким образом, отношение AM/AB равно (√(10) / 6). Это и есть ответ на задачу.