Question

ПОМОГИТЕ ДАЮ 30 БАЛЛОВ Площадь прямоугольника равна 1. Какую площадь имеет треугольник,образованный делением прямоугольника прямой, которая проходит через середины соседних сторон прямоугольника?

Answer 1

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Средняя линия в треугольнике, образованном диагональю и смежными сторонами, параллельна диагонали и равна ее половине. Параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники, следовательно средняя линия отсекает подобный треугольник с коэффициентом подобия 1/2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, т.е. отсекаемый треугольник равен 1/4 исходного и 1/8 параллелограмма.

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольник и построим прямую, которая проходит через середины соседних сторон прямоугольника. Поскольку прямоугольник имеет площадь 1, допустим, его стороны равны a и b.

Пусть прямоугольник находится в координатной плоскости, и его левый нижний угол находится в точке (0,0). Тогда середины сторон прямоугольника будут иметь координаты (a/2, 0) и (0, b/2).

Теперь построим прямую, проходящую через эти две точки. Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), может быть записано как:

(y - y1) = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1).

В нашем случае это будет:

(y - 0) = ((b/2 - 0) / (a/2 - 0)) * (x - a/2).

Упростим:

y = (b / a) * (x - a/2).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, образованного этой прямой, мы должны проинтегрировать уравнение прямой от точки, где она пересекает ось ординат (x = 0) до точки, где она пересекает ось абсцисс (y = 0).

Интеграл от y dx от 0 до a даст нам площадь этого треугольника:

Площадь = ∫[0, a] (b / a) * (x - a/2) dx.

После интегрирования получаем:

Площадь = (b / a) * [(x^2 / 2) - (a * x / 2)] | от 0 до a.

Теперь подставим верхний предел интегрирования (a) и нижний предел интегрирования (0):

Площадь = (b / a) * [(a^2 / 2) - (a^2 / 4)].

Упростим выражение:

Площадь = (b / a) * (a^2 / 4).

Теперь, так как площадь прямоугольника равна 1, a * b = 1. Мы можем выразить b через a:

b = 1 / a.

Теперь подставим значение b в уравнение для площади треугольника:

Площадь = (1 / a) * (a^2 / 4).

Площадь = a / 4.

Таким образом, площадь треугольника, образованного прямой, которая проходит через середины соседних сторон прямоугольника, равна a / 4.